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AlChE

简单剪切流中自然与强迫对流混合引起的来自中性浮力球的热量/质量传递

Bing Yuan和Chao Yang

四川大学化学工程学院，四川成都610065中国科学院大学，中国科学院过程工程研究所，绿色工艺与工程重点实验室，北京100190

Zai-Sha Mao

中国科学院大学，中国科学院过程工程研究所，绿色工艺与工程重点实验室，北京100190

Xiaolong Yin

科罗拉多矿业学院石油工程系，科罗拉多州戈尔登80402

DonaldL.Koch

康奈尔大学史密斯化学与生物分子工程学院，纽约伊萨卡14853

DOI10.1002/aic.16122发布于2018年2月20日在Wiley在线图书馆（wileyonlinelibrary.com）

以2011年Yang等人的工作为基础，采用有限差分法和Boussinesq（布辛涅斯克）近似法求解了球坐标系下随时间变化的Navier-Stokes（纳维叶-斯托克斯）对流扩散和连续性方程。这项工作在理想条件下，首次对在自然对流的水平简单剪切流中的中性浮力球传来的传质进行了数值模拟。在混合传递情况下，向外螺旋流线增强了传递过程，但球体附近的反重力螺旋流线阻碍了自然对流，而空间稀释作用削弱了自然对流传递过程。这些竞争效应造成了Nusselt number（努塞尔数）与Reynolds number（雷诺数）的非单调行为。这些先前未记录的案例的结果被汇总为用于预测各种Grashof（格拉晓夫数）和Prandtl number（普朗特数）的有限雷诺数下的Nusselt number（努塞尔数）的相关性。copy;2018美国化学工程师学会AIChEJ，64：2816-2827，2018关键字：自然对流传质数值模拟剪切流Boussinesq（布辛涅斯克）近似法。

引言

为了获得对从连续相到分散相的传质/传热的机械理解，反之亦然，已经进行了许多关于固体球或小球形液滴与周围流体之间的传质/传热的研究。Garner等人^[1]用照相方法研究了液滴沉降过程中的循环速度。Johns和Beckmann^[2]率先在球周围均匀的Stokes flow(斯托克斯流)中进行了传质的数值计算，并提出了低Peclet number（佩克莱数）的浓度场的结构。Peclet number（佩克莱数）定义为Pe=a²/D（或Pe=a²/alpha;用于传热），Reynolds number（雷诺数）定义为Re=a²/upsilon;，其中是剪切速率，a是球体的半径，D是分子扩散系数。以前关于从单个固体颗粒，液滴或气泡传出的质量/热量的大多数研究^[3-5]都考虑了流体运动，这种运动是由颗粒与周围流体之间的相对平移驱动的，如果颗粒沉降在静止的流体中会发生这种情况。

Gupalo等人^[6]和Batchelor^[7]分析了从沉浸在单轴拉伸流中的固体球体传来的渐近大小Peclet number（佩克莱数）的传质。Zhang等人^[8,9]数值研究了沉浸在单轴拉伸流中的固体或液体球体的内部和外部的传质和传热，它们涉及更大的Peclet number（佩克莱数）范围（1–100,000）。

单轴拉伸流是产生开放流线的线速度场的一个示例，而其他一些线性流场（例如简单剪切流）在Stokes flow（斯托克斯流）极限中具有闭合流线。Acrivos等人^[10,11]报道​​，在零雷诺数极限下，简单剪切流中来自中性浮力无转矩球体的热传递在大Pe（佩克莱数）处受到扩散限制。Li等人^[12]在数值上研究了浸没在简单剪切流中的球形液滴在零雷诺数极限下的非稳定共轭传质。在零雷诺数的简单剪切流中，球体被封闭的流线包围，以防止热量或质量通过对流带走。因此，热量/质量必须在整个流线中扩散，并且即使在大的Pe（佩克莱数）下，迁移也受扩散支配。

对于具有有限雷诺数的流线，Subramanian和Koch^[13,14]发现，微尺度惯性破坏了围绕中性浮力的无转矩球形粒子周围的闭合流线结构。雷诺数小的但非零的开放式流线结构使热量或质量被判定为无效，并且随着Pe（佩克莱数）的增加，Nusselt number（努塞尔数）无限增长。Yang等人^[15]在有限的Pe（佩克莱数）和Re（雷诺数）的简单剪切流中，对中性浮力球的Nusselt（努塞尔）传质数进行了数值评估。他们假设包括质量扩散系数，流体粘度和密度在内的物理特性是恒定的，不受溶质浓度的影响，并且固液界面的浓度是恒定的。因此，正如在大多数其他对流传质的数值研究中一样，传质不影响流场、流体方程的解以及对流扩散方程的解耦。但是，在许多情况下，流体元素的密度取决于其温度和组成，例如在球形颗粒的溶解过程中。在球体周围，由于传热/传质引起的与流体的流体密度差异会产生正浮力或负浮力，从而产生自然对流。在此，流体与传质成为双向耦合。

已经研究了自然对流对沉浸在固定流体中的球体周围质量/热传递或相对于大距离粒子以恒定速度平移的流体的传质/传热的影响^[16-21].Mathers等人^[16]和Yuge^[17]通过实验研究了自然和强迫混合在球与空气之间的对流传热。Geoola^[18,19]用Boussinesq（布辛涅斯克）近似法求解了能量和涡旋输运方程，并数值研究了从固体球体到不可压缩牛顿流体的自然对流传热。Nguyen等人^[20]和Nirmalkar等人^[21]模拟了通过球体均匀流动的混合强迫和自然对流。

但是，没有关于中性浮力球在自然对流中的双向耦合流动和传质/传热的报道。在Yang等人^[15]的研究的基础上，本文研究了自然对流的简单剪切

流中球体的质量/热传递。一旦我们考虑具有浮力的简单剪切，就会有对应于不同重力方向的不同情况。重力可以在任何方向上，但是这三种简单情况将平行于x（流），y（梯度）或z（涡度）轴。本文的坐标系如图1所示，在本研究中，z方向上的重力对应于垂直Couette（库埃特）单元。

在一般情况下，颗粒将质量/热量传递给经过简单剪切流的流体，传递过程将通过剪切运动、自然对流和颗粒沉降驱动的流体的耦合作用而发生。但是，如上所述，大多数先前的研究仅将这三个驱动力中的一个与其他驱动力隔离开来。唯一考虑耦合效应的研究涉及平移运动与自然对流的耦合^[20,21].在这项工作中，我们考虑了简单剪切和自然对流的耦合效应，即在无限大的情况下没有粒子和流体的相对平移运动。这种情况大约对应于中性浮力粒子，尽管避免相对平移所需的粒子精确密度将介于粒子表面的流体密度和无限度之间。一个例子是在Couette reactor(库埃特反应器)中传输悬浮的球形树脂颗粒吸收的重金属离子。

图1.本研究中考虑的笛卡尔坐标系和球面坐标系以及重力和流向分别在（a）和（b）中显示。[可以在wileyonlinelibrary.com上查看颜色图]

有限体积法用于在三维球坐标系中求解耦合的Navier-Stokes(纳维叶-斯托克斯）质量/热量和连续性方程。我们认为由于浓度/温度变化引起的密度差很小，因此采用Boussinesq（布辛涅斯克）近似法。根据我们的模拟结果，提出了质量/热量传递Nussel tnumber（努塞尔数）的相关性。通过传质和传热过程的相似性以及球体表面是恒定的Dirichlet boundary（狄利克雷边界）的假设，传热和传质不需要分别研究，本研究中给出的结果对两者均适用。

第二部分和第三部分分别描述了数值模型和数值模拟方案。在第四部分中，我们给出了流体速度场和质量/热量传递率的结果。我们还与以前的渐近分析和数值分析进行了比较。讨论了控制自然对流和剪切对流耦合的物理机制，并发展了相关性，以预测各种Grashof（格拉晓夫数）和Prandtl number（普朗特数）在有限Reynolds number（雷诺数）下的Nusselt number（努塞尔数）。

模型介绍

在这项工作中，在自然对流的影响下，在简单的剪切流中，中性浮力球形颗粒的传热传质过程是由于颗粒与周围流体之间传热或传质引起的密度差已被研究调查。在我们的笛卡尔坐标系中，未扰动的简单剪力流表示为u=(y,0,0)其中是简单剪力流的速度梯度，因此x是流向，y是梯度方向，z是涡度方向。重力加速度沿z方向。这项工作中的球坐标系如图1所示，相对于z轴测量的极角坐标theta;，相对于xy平面中x轴测量的方位角坐标，以及径向坐标r。

流体元素的密度取决于驱动自然对流的局部浓度/温度。当牛顿流体是可压缩的时，严格地解决流体场并不容易。在这项工作中，采用不可压缩的假设是因为在这种类型的流体中压力变化会很小。采用Boussinesq（布辛涅斯克）近似法，这意味着温度不会显著改变流体的性质，只是引力体的密度随温度线性变化^[16]。Boussinesq（布辛涅斯克）近似的动量方程表示如下：

(1)

其中=p-p₀。=rho;-。p₀，和分别是本体流体的静态平衡压力，静态平衡密度和运动粘度。特征长度（L），时间（tau;₀）和速度（U）分别由实心球半径a，1/和定义。无量纲形式的连续性和动量守恒方程为：

(2)

Cez- (3)

其中无因次时间，压差和浓度为tau;=(,C=（c-/()此处和分别是球面附近的饱和溶液的浓度和本体流体的浓度。e_z是z方向的单位向量。Gr表示传质Grashof number(格拉晓夫数)Gr=，其中beta;=是溶液的特定致密系数。可以通过求解瞬态对流扩散方程来获得从/向粒子的传质，该方程的无量纲形式为

（4）

方程2-4是该系统的控制方程。初始条件（在tau;=0时,1le;rle;，其中是计算域的无量纲大小，0le;theta;小于等于Pi;，0le;phi;le;2Pi;）如下

u0= (5)

式(5)中的初始速度分布为无浮力的Stokes(斯托克斯)剪切流。

浸入简单剪切流中的中性浮球由于剪切流给定的流体应力sigma;而沿Z轴以角速​​度Omega;=旋转。粒子表面的速度满足方程式中的无滑移边界条件。

在方程式（6）中为了近似于远离粒子的区域中简单剪切流的条件，我们选择了到外边界的较大径向距离，以使外边界位置对球体附近流体的影响可以忽略不计。流体速度的边界条件为

tau;gt;0：u=Omega;times;r在r=1 （6）

tau;gt;0时：u=(y,0,0)在r= （7）

因为没有重力转矩，所以球体上的流体动力学转矩为零，即

T（）=sigma;（）=0 （8）

其中sigma;=是流体应力。n是垂直于球面A_p的向外单位矢量。等式(8)的解使用收敛条件T（）lt;10^-5的牛顿方法²²获得。牛顿方法的每次迭代都需要求解速度，压力和浓度的偏微分方程。浓度的边界条件如下：

tau;gt;0：r=1,C=CS=1;r=,C=Cinfin;=0 （9）

在对应于纯自然对流的剪切速率=0（Re=0）的特殊情况下，特征速度的定义为U_n=beta;(c₀-特征时间为t_n=(c₀-。因为在没有剪切力的情况下球体不会旋转，所以不需要无扭矩条件。

数值模拟方案

在这项工作中，瞬态传质和流体相互影响，导致连续的动量和对流扩散方程耦合。采用具有SIMPLE算法^[23]的控制体积公式来求解有限雷诺数下无转矩的中性浮力球体周围的流体场。对流扩散方程是用有限差分法求解的，它是从球体传质的，而流场和传质受自然对流的影响。计算域由3-D球坐标系描述。所有控制方程都在不规则网格上离散，该网格在极坐标（theta;）和方位角（Phi;）方向上是均匀的，而在径向（r）方向上是不均匀的。由于速度和浓度在球体附近区域迅速变化，因此在球体的径向（r）方向设置了10-20个具有密集且均匀网格的节点。在远离球体的区域中应用了指数非均匀网格r(n 1)=r(n)e^nε，其中r（n）表示从第n个节点到球体的径向距离，ε是一个小的常数，用于调整网格间距。

theta;=0和theta;=Pi;边界对应于笛卡尔坐标系的z轴。沿着该轴，速度被视为二阶Adams–Bashforth（亚当斯-巴什福斯）推断法^[24]的方位角平均值。计算的精度取决于网格分辨率和计算域的大小，但是网格非常紧密，并且网格非常大计算域将导致极长的仿真时间。另外，达到收敛所需的迭代次数随Re（雷诺数）和计算域的大小而增加。可以在Yang等人^[15]中找到

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