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相控麦克风阵列的波束成形法用于旋转声源定位

Wei Ma ^a, Huan Bao ^b, Ce Zhang ^a, Xun Liu ^c

a上海交通大学航空航天学院，上海200240

b上海交通大学机械工程学院，上海200240

c上海凯格科技有限公司，上海，200090

摘要：相控麦克风阵列波束形成法已经成为定位声源的标准技术。为了将旋转声源定位在频域的自由空间条件下，已经研究了许多算法。 Pannert和Maier（J. Sound Vib。，333，2014）和Herold和Sarradj（Noise Contro Eng。J.，63，2015）提出了两种最著名的算法。但这两种算法中使用的互谱矩阵之间的关系仍然不清楚。本文通过提出一种计算互谱矩阵的新方法来研究它们之间的关系。然后可以从用于根据实际固定麦克风处的压力计算虚拟旋转阵列麦克风处的声压的不同插值来解释它们的关系。前者使用傅立叶插值，而后者使用线性插值。与后一种算法相比，前一种算法中的互谱矩阵由于具有更好的频谱重构能力，因此具有较低的计算效率，几乎相等的声源定位精度和较高的高频声源强度精度。此外，提出了一种基于数值求解先验方程的转向向量，作为对前一种算法中转向向量具有较高计算效率的替代方法。

关键词：相控麦克风阵列；波束成形；声源定位；旋转声源

术语

代号	解释	代号	解释
DAS	延迟总和	CSM	互谱矩阵
VRA	虚拟旋转阵列	SV	导向向量

1. 前言

相控传声器阵列波束成形已经成为一种定位固定和移动物体声源的标准技术^[1]。 常规的延迟总和（DAS）波束成形算法会根据阵列麦克风压力信号构造出肮脏的信号源分布图。 尽管常规DAS波束成形既简单又强力，但其主要缺点包括空间分辨率低（尤其是在低频情况下）以及由于旁瓣效应而出现的幻影源。迭代解卷积算法可以通过重建清晰的图谱来显着提高空间分辨率，基于肮脏图的源分布。 在广泛使用的反卷积算法中，有DAMAS ^[2-5]和CLEAN-SC ^[6]。

相控麦克风阵列的最初应用和发展仅考虑了固定声源。 由于环境舒适性和工业需求，相控麦克风阵列已逐渐应用于具有特殊运动类型的声源定位。 使用去多普勒频移技术的相控传声器阵列用于定位移动物体上的声源，例如火车经过^[7]和飞机上空飞行^[8-11]。

旋转声源在许多工程应用中都很受关注，例如风力涡轮机和轴流风扇。由于需要运动补偿，因此这些旋转声源的声源定位具有挑战性。 Sijtsma等^[12]首次用于在自由空间条件下旋转声源定位的波束成形（在本文中用旋转波束成形表示），该波束成形使用从移动声源到固定麦克风的传递函数来处理时域中的运动补偿。这种旋转波束成形结合了多普勒频移的作用。 Minck等 ^[13]使用这种旋转波束成形将旋转源定位在风扇的叶片上。这种旋转波束成形的一个缺点是，需要过采样，因此需要较长的测量时间。另一个缺点是无法使用高分辨率反卷积算法所需要的互谱矩阵（CSM），因此低频下的空间分辨率较低。因此，研究人员提出了在频域中旋转波束成形以克服这些缺陷的方法。

在管道条件下，Lowis和Joseph ^[14-16]提出了一种频域圆柱导引的旋转波束成形方法，以将旋转风扇源与圆形麦克风阵列等距定位。他们提出了一种虚拟旋转阵列（VRA），该阵列具有与旋转声源相同的角速度。该旋转波束成形是VRA的旋转框架中的常规波束成形。根据模态分解，从实际静态麦克风处的压力计算出此VRA麦克风处的声压，然后将其用于CSM。这种旋转波束成形中的导向向量（SV）使用硬壁导管Green（格林）函数，该函数经过修改以考虑源旋转的影响。为了考虑内部管道的影响，Dougherty和Walker ^[17]继承了VRA的思想，开发了一种频域环形管道旋转波束成形技术，用于对旋转的宽带风扇源进行成像。随后从CSM中使用的VRA麦克风的声压将从实际固定麦克风的压力中重新采样。这种旋转波束成形中的SV是从环形管道模式中得出的，因此减少了来自管道壁的反射的影响。

在自由空间条件下，Pannert和Maier ^[18]提出了频域旋转波束成形，这也继承了VRA的思想。根据Lowis和Joseph ^[14-16]，基于模态分解，使用真实的固定麦克风上的压力来计算VRA麦克风上的声压。根据Poletti和Teal ^[19]在自由条件下旋转单极声场的级数展开解，这种旋转波束形成中的SV是格林函数。在这种自由空间旋转波束成形中，通过计算格林函数的移位频率来补偿旋转参考系中介质的旋转运动，该函数描述了旋转参考系中来自旋转声源的辐射。每个模式的频率由于旋转而移动。在本文中，这些CSM和SV分别用CSM-MD和SV-MD表示。 Ocker和Pannert ^[20]扩展了这种自由空间旋转波束成形，以均匀的轴向流将声源定位在风扇叶片上。 SV-MD的主要缺陷在于，它需要很高的计算成本，尤其是在高频下。因此，在实际应用中，加速SV MD具有吸引力。另外，文献中有各种SV。但是，这些用于旋转声源定位的SV的性能尚不清楚。

Herold和Sarradj ^[21]提出了基于线性插值从真实相邻固定麦克风处的压力来计算VRA麦克风处的声压的方法，随后将其用于CSM。这种处理将在Dougherty和Walker ^[17]中提出的重采样定义为线性插值。该旋转波束成形可以应用于恒定和变化的旋转运动。在本文的自由空间旋转波束形成中使用的CSM由CSM-LI表示。与CSM-MD相比，CSM-LI具有更高的计算效率。原因是CSM-LI使用相对简单的线性插值。由于同样的原因，怀疑有CSM-LI。

最近，Herold等 ^[22]在CSM-MD和CSM-LI之间进行了比较，并报告这两种算法都能够正确检测源位置。 这个结论有点出乎意料，因为从数学的角度来看，CSM-LI比CSM-MD具有更高的简化程度。 尽管进行了这些调查，但对于更详细的比较至关重要的CSM-MD和CSM-LI之间的关系仍然未知。

总之，到目前为止，有几个尚不清楚的问题需要进一步调查：

（1）CSM-MD和CSM-LI之间是什么关系？

（2）CSM-MD和CSM-LI，哪个更好？

（3）如何加快SV-MD？

（4）应用于旋转声源定位的文献中各种SV的性能如何？

本文的主要目的是试图回答上述问题。本文的结构如下：在第2节中研究通用算法，在第3节中研究CSM-MD和CSM-LI之间的关系，；在第4节中进行了CSM-MD和CSM-LI之间的性能比较；在第5节的仿真和实验中检查了多个SV之间的性能比较，从中提出了更有效的SV-MD替代方案； 讨论在第6节中提供；最后，在第7节中给出结论。

1. 算法

用于旋转声源定位的圆形相位麦克风阵列的示意图如图1所示。

麦克风阵列 扫描平面

图1 用于旋转声源定位的圆形相位麦克风阵列示意图

坐标系的原点位于圆形麦克风阵列的中心。与x轴正方向的方位角为，而与z轴正方向的仰角为。麦克风阵列中心与声源的旋转轴轴向对齐。声源以Omega;的角速度旋转。源旋转半径和阵列半径分别为和。麦克风阵列包含M个麦克风，而扫描平面包含S个网格。固定麦克风的位置向量为X = [x₁，hellip;，，hellip;，] ^T，其中元素 =（，，）=（，，），（（· T表示非共轭转置。扫描平面网格的位置向量为Y = [y₁，...，，...，] ^T，元素 =（，，）=（，，）。对于每个麦克风， = R_m，。对于每个扫描网格，，其中z₀是从麦克风阵列到扫描平面的距离。

频域中的旋转波束成形由下式给出：

（1）

其中（·）^H表示共轭转置，（·）_Omega;表示旋转参考系中的参数，（·）_v表示VRA麦克风的参数，是角速度，，其中f是频率。通过计算出以分贝（dB）为单位的波束成形，其中是2times;10-5 Pa的参考压力。

等式（1）右侧的两个参数，和分别是CSM和权重向量（也称为权重控制向量）。

第一个参数

（2）

（·）表示期望，并且

（3）

是VRA麦克风的复杂声压。

第二个参数

（4）

文献中有几种权重向量公式。它们具有不同的质量和局限性。参考文献中的公式IV。本文使用^[23]，

（5）

其中

（6）

是转移向量。转移向量是SV的函数，

（7）

对于点源，传递矢量的分量由Ref给出 ^[24]，

（8）

其中和分别是从第s个网格点到第m个麦克风和麦克风阵列中心的SV分量。由于麦克风阵列的中心与旋转轴轴向对齐，因此是固定框架中自由空间格林函数，

（9）

其中，而是从第s个网格点到麦克风阵列中心的距离，k是波数，，其中c是声速。请注意，信号源的强度由该信号源在麦克风阵列中心的声压来表征。

2.1 CSM-MD

由Pannert和Maier ^[18]提出，第m个VRA麦克风的复杂声压为

（10）

其中m₀是模式索引，是旋转模式系数，

（11）

其中是第m个实麦克风的复声压。 CSM由等式（10）中的压力计算得出，用CSM-MD表示。

2.2 SV-MD

由Pannert和Maier [18]提出，旋转参考系中自由空间格林函数的球谐序列展开式为

（12）

归一化因子

（13）

旋转引起的频移波数 和（·）是阶数为n阶的勒让德函数的第一种，并且

（14）

其中（·）是阶数为n的第一类球贝塞尔函数，而（·）是阶数为n的球形Hankel函数

和

（15）

在实践中，对于亚音速等式(12)的扩展，可以被截断为

（16）

根据波莱蒂^[25]，得

（17）

（18）

（19）

其中，而ceil函数。通过等式(12)计算的SV用SV-MD表示。

2.3 CSM-LI

由Herold和Sarradj^[21] 提出，第m个VRA麦克风处的复声压直接从第m个VRA麦克风的声压中傅里叶传递 （n = 1，2，3，hellip;，N），得

（20）

其中和是时域中与该VRA麦克风相邻的两个真实麦克风处的压力。 ̌p（即带倒帽子的p）表示时域中的压力。指数和

分别代表之前和之后的真实麦克风，并且

（21）

（22）

其中是VRA在的方位角，而lfloor;·rfloor;是底函数。和分别是行进和跟随麦克风的线性插值权重，以及

（23）

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