4、连续性方程和物质的质量守恒方程

为推导出在多元混合物中的各物质的质量守恒方程，我们首先通过在二元混合物上基于基于任意的流体微分元创建一个质量平衡。我们通过一个A和B流动的二元混合物的体积元素中应用物质A的质量守恒定律。（见图3.3）

在无穷小的控制容积中，物质A可以以速率通过化学反应产生或消耗。如果＜0，物质A会被消耗。不同条件下描述他们对质量平衡的各自贡献如下：

物质A在控制容积中的质量积累速率是

图3.3 通过流体的一个混合无穷小控制容积

A的质量输入速率取决于x方向上的以x为条件的质量流量

A的质量输出速率取决于x方向上的以 为条件的质量流量

通过化学反应的A的生产速率为

在y和z方向上也存在着同样的输入和输出的情况，当全部的质量平衡划分成 时，得到：

(3-26)

这就是二元混合物中成分A的连续性方程，也叫作物质A的质量守恒方程。 都是直角坐标系中的标量。用向量符号表示，方程可写成：

(3-27)

相似的，成分B的连续性方程为：

(3-28)

将方程3-27和3-28合并，得到3-29

(3-29)

这就是混合物的连续性方程。为了得到3-29，我们充分利用了 形式的质量守恒定律的关系。当密度不变时，方程3-29写成

(3-30)

以上过程可以同样依据摩尔单位得到。如果是摩尔的生产体积单位，那么3-27的模拟是：

(3-31)

将方程3-14带入3-27中，得到：

（3-32）

将方程3-12带入3-31中，得到：

(3-33)

如果没有化学反应发生都是0。此外，此外，如果方程3-32中的值为0，我们可以得出：

(3-34)

这就是菲克第二扩散定律。这个方程通常应用于固体的扩散或平稳的流体，以及在气体中的等摩尔反扩散。它在燃烧中的使用是十分有限的，这个方程与热传导方程类似。

在多元系统中运用和的关系，方程3-27变为

(3-35)

上述方程的发散形式通过下面步骤可以简化为欧拉方程。化简方程左边部分，我们得到：

表3.1 在不同坐标系中的连续性方程

直角坐标系

(A)

柱坐标

(B)

球坐标

(C)

表3.2 不同坐标系的质量守恒方程

直角坐标系

(A)

柱坐标

(B)

球坐标

(C)

运用整体方程3-29之后，可以得到3-35的欧拉形式;

(3-36)

在一般的多元系统中，有N个这种形式的方程。在数值解中，的所有值都看成未知量，既然=1，就没有必要为而解除所有的N个偏微分方程。这N个方程中的任意一个都可用简单的代数关系代替。通常情况下，的N-1个独立的方程可以通过关于化学反应混合物的守恒方程得以求解。

简而言之，上述推导过程在直角坐标系中已经完成，然而，直角坐标系并不是解决各种燃烧学问题的最简洁途径。为简化在不同坐标系的控制守恒方程，几种形式的全体混合物的连续性方程已经在表3.1中给出。另外，在不同的坐标系中的独立物质的质量守恒方程在表3.2中已经给出。

1. 动量守恒

在这一部分我们将讨论和推导动量守恒的偏微分形式，前提假设我们处理的是连续的，各向同性的，均匀的液体，我们会讨论牛顿流体的特殊情况，即一种剪切力和形变速率呈线性关系的流体，结果为斯托克斯方程。我们首先推导应力方程，然后我们会考虑压力与液体形变的结构关系。

5.1应力方程

首先我们用三种不同的方法推导应力方程。每种方法都在文献中出现过。尽管这三种不同的方法会得到同样的结果，但不同的推导过程对燃烧领域的初学者会很有帮助。任何一个动量守恒方程的前提都是牛顿第二定律，

(3-37)

总的来说，三种方法如下：

1、无穷小微元法。一个流体微元被看做在固定不变的坐标系中相对移动，这种方法在Hinze,Shames Li和Lam 和Aris编写的很多化学惰性流体力学的教材中都被采用。方程3-37描述了固定质量流体微元的运动。事实上，我们通过遵循在空间中运动的确切的流体微元而采用“拉格朗日法”。

2、无穷小控制容积法。这种方法被称为“欧拉法”或者“场法”。这种方法在许多课本中都出现过。例如Bird,Stewart和Lightfoot编写的教材。在推导中通常将一个空间中运动的无限小的立方体元素作为控制容积。控制容积外的净功量通常加控制容积内的时间变化率等于控制容积的质量净压力。研究者总是在固定空间上研究流过控制容积的流动模式。

3、有限控制容积法。在这种方法中一个有限尺寸的透气性控制容积是已知的。Landau和Liftshitz控制体积有限尺寸和任意形状的推导采用这个方法。高斯定理被用来与表面和体积积分，产生一个只涉及体积分方程的所有收集的单方程。由于集成在一个任意形状的体积，被积函数必须等于零。这将导致在所需的微分动量方程。

5.1.1 基于无穷小粒子的动量方程推导

如图3.4所示，假定一个粒子以质量，速度v在空间中移动，如果净力作用于粒子，那么动量为：

用于流体粒子固定质量，上述方程变为

(3-37a)

这个方程描述粒子运动时，它相对于固定坐标系的空间运动。因此，dv/ df代表特定的流体粒子的加速度从点到点的空间。

下一步，我们将在一个固定的点在空间上与速度的导数相关。在考虑分类运动的描述，我们需要描述的位置，速度，和加速度的整个流程对所有感兴趣的流体粒子。

考虑到方程的拉格朗日观点（3-17a），我们遵循一个粒子，观察它在空间运动的变化。然后，表达式的速度不涉及固定坐标，但允许变化

图3.4 三维空间中的无穷小流体粒子

在不同时间点的坐标定位。该位置由

因为时间t是拉格朗日方法中唯一的独立变量。基于上述关系，我们得到:

这里指的是在不同的时间不同的粒子的速度v（作为时间的函数）。类似地，为了加速粒子，我们得到

然而

在

然后加速度成了

以上的数量是一个不同的粒子通过空间运动的加速度。然而，量，等，代表在特定的时间一个固定的点在空间的粒子流的条件下。那就是，他们代表从场的角度条件下（欧拉观点）为

对于欧拉观点与拉格朗日参数的联系，我们考虑的物质导数也就是所谓的物质导数。Lagrangian观点认为，这个时间导数在下面有一个固定的质量的流体质点的运动。它是为式中相同（3-37a）。在欧拉观点认为，算子可以用四项在右下面的等式的一边和表示，由于有四个独立的变量在欧拉坐标。因此

根据欧拉的独立变量，方程（3-37）可写为

或者

用笛卡尔张量表示法，我们得到

或者

（3-38）

如果我们考虑一个粒子的质量，这一个形状为立方体并且边长和，然后

作用在粒子上的力分为表面力和生产力（每单位体积力）。在一个N元混合物中，生产力在不同的化学物种可能会有所不同。因此，对于一个多元系统，我们得到

（3-39）

图3.5 作用于流体质点在X1方向的表面应力

其中f是作用在第k个物种的单位质量力，并且

（3-40）

现在我们将用应力作用于颗粒的不同面上的应力表示净表面力。考虑图3.5的立方体上的表面力。在这种情况下，三个方向的表面力是

表示方向上的应力并且作用于常数的平面。通过分解之后，动量方程变为

（3-41）

这个方程也称物理运动中的应力张量方程。

5.1.2无穷小控制容积法的动量守恒方程推导

现在让我们再利用图3.4的欧拉方法考虑的立方体的体积是我们控制容积，固定在空间和允许流体通过其表面。对于这个控制容积，我们可以考虑动量方程有以下物理意义：

控制容积中的力的总和率

控制容积中的动量净速率

控制容积中的

动量增加速率

仅考虑方向，动量净通量为

简化之后，以上方程组变成

方向上控制容积中的动量增加速率为

在结合来自 体积力和表面应力之后，我们为方向的动量方程

方向上的方程可以用简便的方法得到。最终结果为：

（3-42）

在区别了左边的部分之后，方程3-42变为

左侧为零的第一组为连续性方程。最后的方程成为

（3-43）

这与之前的部分是同样的结果。

5.1.3有限控制容积

运用牛顿第二律，在空间上的有限控制体积的动量方程可以写成以下形式：

（3-44）

以上方程的物理意义为

控制容积中的力的总和

控制容积中的动量净速

控制容积中的动量增加速率

用张量符号，方程3-44为

（3-45）

应用高斯定理的第二项来改变它的体积积分，我们得到

类似的，应用高斯定理的第三项，我们得到

与方程3-45结合，我们现在可以得到仅仅包含体积积分的方程

（3-46）

由于

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