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单自由度系统:控制方程

3.1介绍

3.2力平衡和力矩平衡的方法

3.2.1力平衡方法

3.2.2力矩平衡的方法

3.3固有频率和阻尼因子

3.3.1固有频率

3.3.2阻尼因子

3.4不同类型的控制方程的阻尼

3.5为不同类型的控制方程应用的力量

3.5.1励磁系统与基础

3.5.2系统不平衡旋转质量

3.5.3系统由于流体附加质量

3.6拉格朗日方程

3.7总结 练习

3.1 介绍

在这一章节中将用两种方法来阐述单自由度系统的运动规律。第1章提到的动量原理是方法之一，包括力的平衡和力矩的平衡。第二种方法是拉格朗日方程，在本章作首次介绍，将在后面的章节得到广泛的应用。当单自由度系统自由振动时，出现在控制方程的参数，固有频率和阻尼系数已经被定义。固有频率和阻尼系数的物理定义在4.2章。此外，系统的稳定性也可以通过系统的参数进行评估，如4.3章。

控制方程有一个分析解或一个数值解。这样不仅可以确定系统内各组件在初始条件和应对外部力时所作的回应，还可以通过确定系统的传递函数（5.3节）或系统的脉冲响应（6.2节）来研究振动系统。在本章节仅推导各种系统的控制方程。在第四节和附录D将给出通解，通解的应用和推导过程将在4、5、6章给出。

在这一章节，我们将知道：

• 经由力平衡和力矩平衡方法得到单自由度运动的旋转系统的控制方程
• 经由拉格朗日方程方法得到单自由度运动的旋转系统的控制方程
• 单自由度系统的等效质量、等效刚度和等效阻尼的确定
• 系统固有频率和阻尼因子的确定

3.2力平衡和力矩平衡的方法

在本节中，将利用力的平衡和力矩的平衡来推导出单自由度系统的控制方程，来确定振动系统的静力平衡位置，并线性化非线性小振幅振荡系统的平衡位置。

3.2.1力平衡方法

由牛顿第二定律可知冲量具有方向性。这一动态平衡由得出，以如下方程得出：

是作用于系统的净外力，是系统线性向量，其上面一点表示其对时间的导数。质心绝对加速度为质量为的系统，线性动量和的改变导致系统速度的改变，可以得到：

ma被称为惯性力，指作用于系统的外力和惯性力的总和为零，也就是说系统在外力和惯性力的作用下处于平衡状态。¹

弹簧-质量-阻尼系统的垂直振动

如图3.1，这是一个弹簧-质量-阻尼系统。一个刚度为的弹簧和一个阻尼系数为的阻尼器连接在一个惯性质量为的物体上。除了这三个在第二章所提到的三个系统元素外，还有一个外部力。我们希望能用一个方程来描叙系统在垂直方向上的运动。用力的平衡可以得到这样的运动方程。利用我们之前得到的图3.1所示系统的运动控制方程，在同一个参考系中我们选着一组正交单位向量和，和同一固定原点的坐标系的X轴和Y轴。质量为的物体仅沿方向运动，所以力的平衡仅考虑这一个方向。

将弹簧为拉升长度为，如图3.1所示。将质量块与弹簧和阻尼器相连，在垂直方向的位移量用表示,其中表示该系统处于平衡位置时弹簧的伸长量，表示质量块偏移平衡位置的位移量。质量块相对于O点的位移向量为

图3.1

弹簧-质量-阻尼系统的垂直振动

¹这句话被称为Drsquo;Alembert定理，根据这里定理的广义定义，当系统的位移量为零时，净外力和惯性力所做的功为零。

力的方向与大小如图3.1所示，注意，惯性力在图解中也展示出来了。弹簧恢复力和阻尼力是阻力，它们阻止系统运动，如图3.1所示。根据（3.1 b），我们在方向上运用力的平衡方法的到方程

作用于系统的外力

作用于质量块的弹簧力

作用于质量块的阻尼力

惯性力

再利用公式（3.2），和是常数，根据公式（3.3）减少微分标量化简得

静力平衡位置

系统的静力平衡位置指的是系统处于静止状态时的位置，也就是系统速度和加速度为零的位置。在公式（3.4）中去除力随时间的变化量，且设定系统的速度和加速度都为零，我们将得到更加简化的静力平衡方程

如果在公式（3.5）中，我们假定

我们发现当时，系统处于静力平衡位置。由于质量块拥有一定量的质量，弹簧需伸长来平衡质量块的重力。该伸长量称为静态位移。弹簧未拉升时有一个长度,系统静止的位置，静力平衡位置从原点开始测量

如图3.1所示。在公式（3.6）可以得出，静力平衡位置就是弹簧力与重力平衡的位置。另一种静态平衡的例子是3.1所提到的例子。

运动方程的平衡位置

将公式（3.6）代入公式（3.4）可以得到：

公式（3.8）给出了单自由度振动系统的控制方程，其静力平衡位置由公式（3.7）给出。注意公式（3.8）并没有考虑重力。因此线性振动系统在静力平衡位置测量位移是一个明智的选择，这时不需要考虑静态加载。

公式（3.8）的左边用力的形式来描述单自由度系统。公式（3.8）的右边是作用于质量块的外力。包括空气压力（飞机机翼上的空气压力）、动电磁力（扬声器线圈的运动）、静电力（常出现在一些微电子设备中）。在旋转机械中力的不平衡导致系统的不平衡（见3.5节）。描述该系统的方程（3.8）是一个线性微分方程，常系数m、c、k，正如2.2节、2.3节和2.4节提到的，这些量都是系统参数。

弹簧-质量-阻尼系统的横向振动

如图3.2所示，一质量块的运动方向与重力方向相垂直。假设质量块的运动没有摩擦力，弹簧的未拉伸长度为，原定定在弹簧的未拉伸位置，如图3.2所示。弹簧在静止时没有任何偏差，仅产生方向的平衡力。即静力平衡位置，正好对应弹簧未拉伸位置。

图3.2

弹簧-质量-阻尼系统的横向振动

在固定表面上力的传递

在图3.1中，我们可以知道，总反应力为固定表面上弹簧和阻尼器所产生的静态力个动态力的总和。既

静态力组成部分

动态力组成部分

如果我们仅考虑由于物体偏移静态平衡位置所产生的动态力部分，将得到

这里的参考公式（3.8）。公式（3.10）将在后面的章节用来确定在系统处于运动状态时，传递给固定台（5.4节）或者传递给质量块的力（5.6和6.7节）。在接下来的两个例子中，我们将学习如何获取静态平衡系统受到外力影响时的控制方程，和如何线性化一个二次非线性的弹簧。

示例3.1 风力对系统的静力平衡位置的影响

在水塔、灯柱等民用建筑，风通常产生一个包含有静态和动态的力。在这种情况下，激发力表示为

是稳定的静态力，是随时间变化的动态力。单自由度振动模型参考公式（3.8）。这里替换成确定风的大小和方向的公式（a），表达式为

我们将确定该系统的静力平衡位置，并且获得关于这个静力平衡位置的控制方程。为了达到该目的，我们下面的公式代入到公式（b）。

这里取决于系统的静态加载状况，取决于系统偏离平衡位置的时刻。将公式（c）代入公式（b），由于不随时间而变化，我们将得到

是方程的解。

是该振动系统的静态平衡位置。

示例3.2 鼓膜振动：非线性振荡器和线性化系统

在这个例子中，考虑到鼓膜振动的非线性振动器，我们将定义该系统的静态平衡位置，并说明如何线性化非线性化控制方程来研究局部平衡位置的振荡。非线性控制方程为

二次非线性

鼓膜的恢复力具有二次非线性的分量。

静态平衡位置

注意到这个问题没有与时间相关的强制项，且将加速度项设置为零，我们发现平衡位置是代数方程的解。

方程（b）的解为我们提供了两个鼓膜静态平衡位置，即

线性化

接下来，我们替换

到方程（a）。并且用变量来线性化在平衡位置附近的非线性不封，我们将得到

此外

在附近的“小”振幅振荡的线性化系统

利用公式（e）、（f）和（a），注意到,我们得到线性方程

在附近的“小”振幅振荡的线性化系统

利用公式（e）、（f）和（a），注意到,我们得到线性方程

比较方程（g）和（h），显然两方程有不同的刚度项。

3.2.2 力矩平衡法

如图3.3所示，做旋转运动的单自由度系统利用力矩平衡法很容易就能导出控制方程。一旋转刚度为的轴连接到旋转惯性为的圆盘上，它们都围绕方向做旋转运动。一外力矩作用在浸入充满油的壳体的圆盘上。用变量来描述圆盘的旋转运动，使得与圆盘的旋转惯性相比轴的旋转惯性可忽略不计。

利用角动量的原理公式（1.17）来获取圆盘运动的控制方程。首先确定圆盘的角动量，由于圆盘在平面上旋转为刚体，利用公式（1.20）来求得围绕圆盘质心的角动量为

由于旋转惯性和单位矢量不随时间而变化，因此公式（1.17）可写成

是作用在自由圆盘上外部总力矩的和。根据图3.3，其中还包括惯性力矩，则运功的控制方程为

作用在圆盘上的外力矩

轴的恢复力矩

壳体中的油阻尼力矩

惯性力矩

将公式（3.12）化简，可得

公式（3.13）和公式（3.8）是等价的，公式（3.13）左侧第一项由惯性原件确定，公式（3.13）左侧第二项由阻尼元件确定，公式（3.13）左侧第三项由刚度元件确定，公式（3.13）右侧为外力矩。所有线性化单自由度振动系统都具有惯性项、刚度项、阻尼项和施加在系统上的外部力。

图3.3

（a）旋转运动的圆盘 （b）圆盘在垂直于轴线方向上的受力图

示例3.3 手的生物力

图3.4

手运动

如图3.4所示，考虑手在平面内的运动，该运动用角度来描述。一个质量为质量块被放在手掌中，前臂质量为长度为。如果我们对有肌肉所产生的力进行简化，则二头肌提供的力为,是常数。由三头肌提供的力为,是常数，是三头肌拉伸的速度。进一步假设前臂可以被视为均匀的刚性梁，手臂的运动方程可以获得。跟示例3.2一样，该非线性系统在围绕系统平衡位置做线性化的“小”振荡。

如果运动的轴心是一个固定点，用力矩平衡来推导图3.4所示系统的平衡方程。假设运动的轴心是一个固定点，用方程（1.17）计算关于点的一个力矩平衡。这里公式（1.17）的形式为

是前臂和保持在手中物体的旋转惯性。由于重力、二头肌和三头肌引起的作用于点的静力矩为

根据公式（a）和（b），控制方程可变形为

意识到

除去方程（c）中的矢量，我们得到标量方程

在该方程中，惯性项是由于前臂的旋转惯性和质量块的旋转惯性引起，阻尼项是由三头肌引起，刚度项是由二头肌引起，并且由于重力的存在，使得方程有的非线性项。后一项影响系统的静态平衡位置和刚度，并且这种影响取决于的大小。

静态平衡位置

注意到方程（e）中没有时间依赖项，并且将速度和加速度设置为零时，我们发现是下面超越方程的解。

线性系统关于静态平衡位置的“小”振荡

我们现在考虑静态平衡位置的振荡，并且将角的形式扩展为

并使公式（e）的非线性项线性化，为了达到这点，我们将其进行泰勒级数展开，并且只保留线性项

求的导数，我们得到

将公式（i）和（h）代入公式（e）并且利用公式（f），我们得到下列关于系统平衡位置的前臂“小”振荡的线性运动方程

注意，线性系统的“线性”刚度受到的第二项多反映的重力的影响。

3.3固有频率和阻尼因子

在本节中，我们将定义系统的固有频率和阻尼系数，并且说明他们由系统的哪些量决定。系统的惯性、刚度和阻尼不依赖与时间，仅取决于作用在系统上的力。振动影响公式（3.8）和公式（3.13）用于系统的阻尼因子，将在第4至6章中讨论。

3.3.1固有频率

对于单自由度系统的平移振荡，系统的固有频率被定义为

其中是系统的刚度，是系统的质量。（也称为固有频率）的单位是Hz。

如图3.1所示，系统做垂直振荡，对于这种振荡，我们使用公式（3.6）和公式（3.14），最后可得到

是系统的静态偏转

旋转振动的固有频率

与单自由度系统的平移振动的固有频率的定义相似，旋转运动的固有频率被定义为

系统的扭转刚度，系统的质量惯性矩。

无阻尼自由振荡周期

对于不受外力且无阻尼系统的自由振荡周期为

因此，增加固有频率周期减小，反之亦然。

在下面的例子中，我们将展示如何使用静态位移来确定单自由度系统的固有频率。

示例3.4 来自机器系统的静态偏转的固有频率

对于机械组装的特定选择，一特定机械的固有频率是确定的。两种机械组装方法，发现这种偏转是基于静态偏移，我们用三个组件来确定机械的固有频率。为此，我们用公式（3.15），注意重力加速度,我们得到以下三个组件的固有频率。

示例3.5 人腿胫骨的静态偏移和固有频率

假设一直立人体重为100kg，我们估算胫骨的静态偏移和轴向振动的固有频率。假设胫骨长度为40cm，我们将其建模为内径2.4cm外径3.4cm的中空管，骨材料的杨式弹性模量为。

静态偏移用公式（3.6）进行计算，用公式（3.15）计算固有频率。假设两条腿等同的支撑人的重量，则由胫骨支撑的重量为lt;

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