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第六章 单自由度承受瞬态激励

6.1 介绍

6.2 脉冲激励响应

6.3 阶跃输入的响应

6.4 斜坡输入的响应

6.5 响应的光谱能量

6.6 矩形脉冲激励的响应

6.7 半正弦波脉冲响应

6.8 冲击测试

6.9 总结

练习

6.1 介绍

在第四章，自由响应已经讨论了，在第五章，谐波响应和其他的周期激励也被讨论了。正如在上两章所阐述的那样，系统中某个状态的突然变化可能由初始条件引起，也可能是因为某个强迫运转的变化导致了系统短暂的响应。现在，初始情况暂时不考虑，而对不同类型激励的响应，比如脉冲激励，阶跃输入，斜坡输入和脉冲激励会进行详细的讨论。这里所有的激励都是以不同时间段对应的振幅的变化为特征的。当一个领域在对一些瞬时激励eta;eta;频繁的发生变化时，也可以给我们提供对系统特征决策的基础。这导致了一些位移响应，和一些设计标准都是以这些信息为基础建立的。本章提及的系统里的惯性环节和或者系统里的基础都被短暂的外力限制

对瞬态激励响应的解决方案

图6.1

当初始位移X₀=0，初始速度V₀=0，如图6.1所示，一个外力作用在某块物体上，该弱阻尼系统的控制方程（5.2）已经被给出，这里在下面再重复一次。

在公式6.1a中，eta;是一个积分变量，而且我们知道阻尼自然频率omega;_d可以由下列公式得出

根据无量纲时间г=omega;_nt，公式（6.1a）可以被写作

当积分变量xi;=omega;_neta;。我们用公式（6.1）作为面对不同外力作用下的响应测定的基础。

在这章中，我们将进行以下研究

分析单自由度系统在遭受到突然的外力变化，比如振动、脉冲和阶跃作用，而施加在惯性环节的斜坡输入是整个系统的基础。

研究在自由振动期间，一个随时间变化的外力的持续时间比率的重要性。

叙述一个变频器的振动持续时间并且研究这是怎么影响系统响应的。

确定光谱能量输入的干扰和之后的响应。

6．2脉冲激励响应

一个脉冲激励可以用下列公式描述

这里的f₀表示的是脉冲量级的大小，单位为N·s，delta;（t）是一个普遍的方程被称为脉冲函数，这个方程是根据它的性质定义的。

这里的f（t）被假设为从t=t₀开始的连续变量，将公式（6.2）代入（6.1a）中然后求积分，可以得到：

根据无量纲时间г=omega;_nt可以得出：

在公式（6.4b）中，单位阶跃函数被用来表示当tgt;=t₀时产生的响应是随时间的变化而变化的。由公式6.4b可以得到位移响应，我们可以看出它是以指数衰减循环为形式的。其中0lt;zeta;lt;1.在图6.2中我们取的是zeta;=0.1和zeta;=0.4。

初始速度响应的相似处

图6.2所表示的和第4.2.2章节所展现的无外力的、初始速度下的线性振动系统在本质上是相同的。实际上，公式6.4a所给的响应形式和4.13所给的是一致的，如下：

第六章 单自由度系统的短暂激励响应

图6.2

系统的脉冲响应

比较公式6.4a和6.5，我们可以知道

这应该是系统的线性动量的变化等于施加到系统的冲击，从公式1.11中，我们可以知道动量变化为：

假设在施加脉冲之前，系统处于静止状态，则Vo为脉冲后物体作用在系统中的速度。 换句话说，一个系统对一个冲动的反应就等同于这个系统回应

脉冲系统时的相应初始速度。

对脉冲的极端响应

鉴于系统对冲动的反应的性质相同由于等式的初始速度，由 （6.4a）和（6.5）可以得出。因此，可以直接从等式（4.18）获得脉冲响应的最大位移xmax，因此，由V₀=f/m，可知第一个极值为：

由公式4.17可知，发生在：

这里有：

传递到边界的载荷

图6.1中的传递到边界的力可由公式3.10得出。从而:

在用公式6.4a和D.12之后，我们可以获得当tgt;0时有：

其中，相位角psi;由下列公式给出：

传递到边界的最大力发生在当时，因此，公式6.10可以得出：

这里的psi;由公式6.10给出。因此，发送到边界的最大标准力可由下列公式得出：

该结果绘制在图6.3中，我们可以从中知道F_b，max/（f₀w_n）有一个最小值在xi;=0.25时。此时F_b，max/（f₀w_n）=0.81。当阻尼增加超过xi;=0.25时，传递力矩也随之增加。从公式6.10和公式6.12以及图6.3中可以推导出以下几点设计方案。

设计指南：为了获得由于冲击载荷引起的传递到单自由度系统的力的最小值，我们可以选择一个在0.25到0.35之间的阻尼比。队友该范围的阻尼值，传递到固定边界的力的最大衰减约为18%。对于给定的阻尼比和冲击力的大小，我们可以通过降低频率来降低传递到边界的力的大小。

图6.3

时域和频域的对应

我们现在利用公式6.4a检查在频域中对于位移响应带来的信息。在这个结束后，我们回顾一下公式5.60的傅里叶公式的变化形式：

其中：

由公式5.56a和5.56b给出振幅响应H（v / vn）和相位响应u（v / vn），以及，G（jw）是由公式5.55给出的频率响应函数。因此，基于公式6.13，由公式6.4a给出的脉冲响应的傅里叶变化为：

当脉冲力的大小统一时，我们称为施加了单位脉冲力，就像图6.1中的系统展现的那样。相对应的响应被称为单自由度系统的脉冲响应。可由下列公式给出：

这个函数是频率响应对应的时域响应，其中包括振幅响应H（v/vn）和相位响应U（V/VN）。有:

传递函数和频率响应函数

当初始条件为0时，拉普拉斯变化的响应由公式D.2变为：

这也可以写作：

这里的传递函数G(s)可以写作:

在频域中，公式6.17变作了：

当公式6.2给出的激励形式被运用与这个系统中时，对应的拉普拉斯变化可由附录中的表5查知，因此有

F(s)=f₀ (6.20)

因此，在整个频率变化过程中，其对应的傅里叶变化F(jw)都具有一个恒定值f₀。换句话说，在一个脉冲函数中，当频率0=lt;w=lt;infin;时，脉冲幅度的大小是恒定的。

从实际的角度来看，一个脉冲函数是很难被认知的，因为一个理想的脉冲会在短时间内持续一个较大的冲击力。然而，一个被称为冲击锤的装置可以用于被用于实验中去测量有效时间段内加载在物体上的冲击。冲击锤通常有内置传感器去测量由锤子创造的时间—振幅图像。这个锤子产生的相应响应的傅里叶变化在一个有限的时间范围和频率带宽中有一个恒定的时间大小。如在6.6节中讨论的那样此带宽会随着脉冲持续时间的减小而变大。

脉冲响应的概念导致了我们需要用一个实验步骤去确定

频率响应函数。这个步骤方法是我们在第五章中用于构造谐波激发函数所用方法的替代。因此，我们会使用冲击锤或其他来源

对惯性施加非常短的持续时间的力（或时刻）系统的元素，测量和数字化强制和位移响应信号，使用离散傅里叶变换对这些信号进行转换时域信息到频域，然后确定频率响应函数G（jv），基于公式5.59c得出，这在本章的公式6.19中也出现过。

线性系统对任意输入检查方程 （6.17），这是在拉普拉斯域，可以说明

线性振动系统的位移响应是系统的乘积传递函数和拉普拉斯变换的系统输入。同样的，从等式 （6.19）可知，它在频域，可以说是位移响应是系统频率响应的乘积功能和傅里叶变换的系统输入。 这种输入 - 输出关系，这是所有线性振动系统的特征如图6.4所示。

从附录A表A的变形中我们可以得到方程6.17所对应的时域，即：

图6.4

其中f（t）是施加到惯性元件的作用力，函数h（t）是系统的冲动响应；有：

有附录D中的公式D.11可知，公式6.21是卷积积分。因此，强制施加的力与相对应系统脉冲响应函数相结合，可以确定系统响应的时间函数。

冲击锤用于冲击单自由度中的单个物体，如图6.5阐述的那样。在实验中，一个单个冲击是首选；然而，仅仅认知一个单冲击是非常困难的因为有多种冲击可能发生。假设系统中物块的质量为2kg，刚度为8N/m，双重冲击的形式为：

我们应该定义系统响应并将其与所获得的进行比较，当t=1时第二种响应为0.

对于给定的参数值，固有频率vn和阻尼因子z分别确定为：

当zeta;lt;1时，我们有一个弱阻尼系统，根据公式6.4，系统对于单冲击的响应是从t=0时开始，可由下列公式得出：

图6.6

受到双重冲击的系统的响应由下式给出：

单脉冲响应函数u（t-1）用于表示第二个冲击响应在tgt;=1时。在第一秒之前，这也是在第二个脉冲响应之前，系统对单脉冲和双脉冲的响应是一样的，这在图6.6中的响应图像可以看出来。然而，在第一秒之后，预料之中，两种响应是不同的。

例6.2 使用额外响应来抑制瞬态响应

我们可以用以下方式来扩展6.1.假设图6.1所示的系统是在受一个脉冲力F₀N·s在t=0时，在之后我们在t=1时施加另一个脉冲力F₀N·s。我们应该定义在时间间隔为t₀=lt;t=lt;Tn内，t₀时刻的作用在物体上的最小均方根的位移x_rms，在这里，Tn=2npi;/w_d。n是一个整数。数量T1是阻尼振荡的周期，n的选择有些随意，但是从图6.2我们看到n应随z减小而增加。

图6.7

从问题的状态我们可以知道：

将公式a代替到公式6.1中，我们可以发现：

指定时间间隔内的均方根值由下式给出：

方程c是通过标准优化程序求解而出去确定最早时间t₀以及给出的Xrms的最小值。这个结果在图6.7中zeta;=0.01和zeta;=0.15中已经展现出来了。从这可以看出这个数字对于一个非常轻微的系统来说，应用了一种冲动在无量纲时间omega;_nt 3.142在施加第二脉冲之后的振荡中几乎消除了大小。

然而，第二次冲击的应用作为阻尼具有较小的效果增加了。应注意，阻尼振荡的无量纲半周期为；因此，对于zeta;=0.05，我们有omega;_nT₁/2=3.3137。因此，对于轻度阻尼系统可以大大降低了应用后的振荡幅度，如果在时间大约等于阻尼振荡一般时间时施加第二脉冲冲击。

例6.3冲击载荷下的应力水平

考虑实例6.1所示的弹簧-质量-阻尼器系统，并假设弹簧的顶部焊接到质量块上，焊接在上面的面积为Aw=4mm²，其焊接材料能承受的最大压力为sigma;_w，Max=150MN/m².对于一个大小为100N·s的冲击来说，我们应该确定这片焊接区域承受的冲击水平应该低于最大承受压力。在这里我们假设zeta;=0.25，m=200kg，k=800N·m，因此，omega;_n=2rad/s。

由方程6.2给出的f₀=100N·s的冲击，相应系统的位移响应由公式6.4a给出。然后，确定加载在焊接材料上的力，应小于所能承受的最小值，在焊接材料静止时确定其能承受的最大压力。这个值和最大压力等级进行比较，sigma;_w。max。作用在材料上的力可由下列公式得出：

材料上的最大力由公式a在x(t)=x_man时给出，这里的x_man

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