摘 要

随着现代交通的发展，和人们对更加便捷交通工具的需求，磁悬浮技术已被广泛应用在工程方面，例如机械工程，航空航天工程等行业。其中，磁悬浮轴承-转子是磁悬浮技术的一个核心元件，引起了从业人员的广泛关注。

在本文中，我们研究了具有8极腿的带时变刚度的磁悬浮-转子系统的非线性动力学。我们将非线性的电磁力进行泰勒展开，建立了带二次项、三次项和参数激励的2自由度非线性系统模型，探索周期性和准周期运动以及系统的分岔和混沌动力学。在主参数共振和1/2次谐波共振的情况下，使用多尺度的方法来获得平均方程。然后，我们采用Runge-Kutta数值方法求解平均方程得到转子的运动情况。

经过数值求解，我们发现在带时变刚度的具有8极腿的磁悬浮轴承-转子系统中存在周期运动的现象，包括单个周期，2周期，3周期等多周期和准周期运动的现象。此外，我们还在系统中观察到振荡幅度为非线性的灾难性现象，和从瞬态混沌运动到稳态周期或准周期运动的运动过程。这表明，这样的轴承-转子系统具有将瞬时混沌状态转化为稳态周期或准周期运动的自动控制能力。

本文的主要创新点在于运用泰勒公式将非线性的电磁力转化为较简单的多项式，简化计算，并且选用了具有较高阶精度的数值方法求解。未来，我们将进一步研究混沌过程中更精确的轨迹方程。

关键词：磁悬浮轴承-转子；时变刚度；泰勒公式；Runge-Kutta法

Abstract

With the development of modern transportation, and people’s hope for more convenient means of transport, magnetic levitation technology has been widely used in engineering, such as mechanical engineering, aerospace engineering and other industries. Among them, the magnetic bearing-rotor is a core component of the magnetic levitation technology, causing widespread concern in the practitioners.

In this paper, we study the nonlinear dynamics of a magnetic levitation-rotor system with time-varying stiffness with 8-pole legs. We develop a 2-DOF nonlinear system model with quadratic terms, cubic terms along with parametric excitation, and explore the periodic or quasi-periodic motion, bifurcation and chaos dynamics. In the case of the main parameter resonance and the 1/2 harmonic resonance, a multi-scale method is used to obtain the average equation. Then, we use Runge-Kutta numerical method to solve the average equation to get the rotor movement.

After the numerical solution, we find that there are 2 cycles, 3 cycles, 4 cycles, 5 cycles, multi-cycle and quasi-periodic motion in the magnetic bearing with rotor with 8-legged stiffness. In addition, we observe the phenomenological phenomena of the oscillation amplitude as non-linearities in the system, and the motion from transient chaotic to steady-state or quasi-periodic motion. This indicates that such a bearing-rotor system has the ability to convert the instantaneous chaotic state to steady-state periodic or quasi-periodic motion.

The main innovation of this paper is to use the Taylor formula to convert the nonlinear electromagnetic force into a simple polynomial, simplify the calculation, and use a higher order precision numerical method to solve. In the future, we will further study the more accurate trajectory equation in the chaos process.

Key Words：magnetic bearing-rotor；time-varying stiffness; Taylor formula; Runge-Kutta numerical method

目 录

摘 要 I

Abstract II

第1章 绪论 1

1.1 研究的背景与意义 1

1.2 磁悬浮轴承的特点 2

1.3 国内外研究历史 3

1.4 国内外研究现状 4

1.5 本文主要工作 5

第2章 磁轴承-转子系统动力学分析 6

2.1 系统的电磁力分析 6

2.2 系统的动力学微分方程 9

2.3 多尺度法和平均方程 12

第3章 数值模拟与实验分析 15

3.1 Runge-Kutta法 15

3.2 从混沌状态到拟周期运动 16

3.3 转子的周期运动 18

第4章 总结与展望 20

4.1 本文工作总结 20

4.2 未来工作展望 20

参考文献 21

致谢 22

第1章 绪论

1.1 研究的背景与意义

磁悬浮技术已被广泛应用在工程方面，例如机械工程，航空航天工程等。典型的磁悬浮轴承-转子系统的部件下图所示，系统核心元件为转子和两端起支撑作用的径向磁轴承。由于系统中的大多数组件都具有非线性的特点，转子AMB系统的动力学非常复杂。特别地，系统中关于转子位移和控制电流的电磁力是非线性函数，它可能导致转子在某些参数区域内产生不可忽略的振动现象。因此，关于磁悬浮轴承-转子非线性动力学的稳定性研究在实际工程中具有重要的意义。研究发现，在磁悬浮轴承-转子系统中，蕴含着丰富而复杂的非线性动力学行为，如局部和全局分叉现象以及混沌动力学。