论文总字数：22973字

摘 要

图像配准作为图像处理中最具挑战性的任务之一，在遥感、医学等诸多领域展现出了强大的应用活力与研究价值。尤其是在医学图像处理中，一种可靠的图像配准方法在医学诊断中可以起到关键作用。同时，医学图像配准也是医学图像融合、医学图像重建、图像与标准图谱匹配等医学图像处理技术的基础。医学图像配准问题本质上是变分泛函极小化问题，可最终转化为偏微分方程的数值求解问题。对于变分的图像配准模型来说，则需要增添正则项解决病态问题，如何设计一个合理的变分模型是十分关键的。同时，分析和求解变分模型是比较困难的，需要适当的离散以及数值求解方法。而变分泛函的模型在求解时未知数的数量与图像像素的数量是成正比的，如何设计一个快速稳定且准确有效的算法也是十分重要的。

针对以上问题，本文首先介绍了基本的Jacobi迭代法，通过对其分析引导出多重网格方法。然后利用两种方法对同一方程进行数值求解实验，分析求解过程量，验证了多重网格方法是一种快速求解偏微分数值解的方法。对于图像配准的变分模型，采用先优化再离散的方式求解。根据变分原理，获得优化目标的Euler-Lagrange方程，最终转化成求解偏微分方程的问题。应用多重网格方法快速求解目标偏微分方程数值解，并设计了相应医学图像配准快速求解算法，对三组不同图像进行了配准实验，证明了所设计算法的可行性与效率。最后则进行了总结与未来工作的展望。

本文的创新点：基于多重网格方法设计了一个快速的图像配准算法。利用偏微分方程求解配准问题，有效的结合了偏微分方程数值求解的相关优势。应用多重网格方法设计的配准算法，大大提高了图像配准的速度、准确性以及稳定性，达到了快速且准确配准的目的。

关键词：医学图像配准；变分模型；偏微分方程；多重网格方法

Abstract

As one of the most challenging tasks in image processing, image registration has demonstrated strong vitality and value in many fields such as remote sensing and medicine. Especially in medical image processing, medical image registration technology plays a key role in medical diagnosis. It is also the basis of medical image processing technologies such as medical image fusion, medical image reconstruction, image matching with standard atlas. The medical image registration problem is essentially a variational functional minimization problem. And it can eventually be transformed into a numerical solution of partial differential equations. For the variational image registration model, it is necessary to add a regularizer to solve ill-conditioned problems. How to design a suitable variational model is very critical. At the same time, it is difficult to analyze and solve the variational registration model, which requires appropriate discretizations and numerical schemes. However, the number of unknowns is proportional to the number of pixels in the image, when solving the variational functional model. And how to design a fast, stable, accurate and effective algorithm is also very important.

In response to the above problems, first, the basic Jacobi iteration method is introduced. The multi-grid method is guided by Jacobi iteration method’s analysis, and then the two ways are used to numerically solve the same equation. The results verify that the multigrid method is a fast way to solve partial differential numerical solutions. For the variational model of image registration, it is solved by optimizing and then discretizing. According to the conditions for determining the extreme value of the variational functional, the Euler-Lagrange equation is obtained, which is finally transformed into a partial differential equation problem. The multi-grid method is used to quickly solve the numerical solution of the target partial differential equation. Using the multi-grid method, a fast algorithm for medical image registration is designed. Then, registration experiments are performed on three different images.

The innovation of this paper: a fast image registration algorithm is designed using the multi-grid method. The registration algorithm designed by the multi-grid method greatly improves the speed, accuracy and stability of image registration, and achieves the purpose of fast and accurate registration.

Key Words：medical image registration；variational model；partial differential equations；multigrid methods

目 录

第1章 引言 1

1.1 研究背景与意义 1

1.2 国内外研究现状 1

1.3 主要研究内容与结构 3

第2章 预备知识 5

2.1 图像插值 5

2.2 变分法 5

2.3 有限差分法 6

2.4 本章小结 7

第3章 多重网格方法求解偏微分方程数值解 8

3.1 迭代法 8

3.2 多重网格方法 10

3.2.1 限制算子与延拓算子 10

3.2.2 二重网格方法 11

3.2.3 多重网格法 13

3.3 数值实验 15

3.3.1 Laplace方程数值求解 15

3.3.2 结果分析 16

3.4 本章小结 17

第4章 基于多重网格方法的图像配准模型及算法 18

4.1 图像配准模型 18

4.2模型求解与基于多重网格方法的算法设计 19

4.3 数值实验与结果分析 22

4.4 本章小结 25

第5章 总结与展望 27

5.1 总结 27

5.2 展望 27

参考文献 29

致谢 31

第1章 引言

1.1 研究背景与意义

图像可以视为一种反映世界状态与能量的可视化投影，在信息的取得、加工与处理中饰演了重要的媒介与手段，与人们的日常生活息息相关。随着计算机技术的飞速发展，图像处理技术的研究与发展也突飞猛进，不仅有了更加广阔的应用前景，也在生产生活中发挥着巨大作用。图像配准作为图像处理中最重要的任务之一，是图像处理技术的基础，在各个领域都有十分重要的作用，尤其是在医学领域。医学图像配准的目标是寻找一个几何映射，使得待配准图像与参考图像在结构和空间上尽可能的相似。医学图像配准是医学图像处理技术的重要步骤，是医学图像融合、医学图像重建、图像与标准图谱匹配等医学图像处理技术的基础。同时，医学图像配准技术对医学诊断以及计算机外科辅助手术等也起着十分重要的作用。

另一方面，随着偏微分方程的不断发展研究，研究人员们也开始逐渐将偏微分方程与图像处理技术结合起来，在现有数字图像处理相关研究的基础上，将其拓展到医学、航天等领域并开始了新的课题研究。目前，图像处理中的偏微分方程模型主要有两种方法：其一，寻找与我们所研究的图像处理问题演变过程相似的物理问题，并基于此物理过程的模型建立对应图像处理问题的偏微分方程模型。其二，通过建立一个“能量泛函”的方式，根据变分泛函极值的取定条件，得到Euler-Lagrange方程。通过这种方式，就将建模问题转化为了一个变分问题。如今，偏微分方程凭借着其局部自适应性、规范性、灵活性等优势，在图像处理技术中得到了飞速发展，拥有巨大的研究应用潜力。

请支付后下载全文，论文总字数：22973字