1.1 研究背景及意义

单调性是刻画函数性态的 重 要 工 具，无 疑 是 一个重要概念 ．高中阶段用初等代数的语言定义单调性，微积分中则是用导数来刻画单调性 ．语 言的刻画不过是一种表象，其中蕴含的核心思 想 是：我们总可以把不规范的事物转化为规范的事 物，用规范的简单的事物控制复杂的事物．如，方 程和不等式可以看作函数的特定状态，用函数 的 观点处理方程、不等式的有关问题，自然是情理之 中的事 ．比如，欲证ｆ（ａ）＜ｆ（ｂ），同时，又已知ａ，ｂ间的大小关 系，这 时 若 能 说 明ｆ（ｘ）的 单 调 性， 即可证得结论 ．应当说这是一种简单的规范的证 明不等式的方法 ．

1.2研究现状

许多数学模型，包括优化问题、多目标优化问题、变分不等式问题、不动点问题、互补性问题和非合作 Nash 均衡问题等，都可以通过均衡问题来进行表达:找到向量 x* ∈S，使得

f( x* ，y) 0，y∈S，

其中函数 f∶ n × n → 是一个二元函数，集合 S n 是一个非空闭凸集［1，2］。这个模型起源于变分不等式， 它的求解方法也是扩充了研究最优化和变分不等式所采用的常用方法。均衡问题的算法可以分成很多种， 如不动点、外梯度、凸可行和下降方法等。在这些求解方法中，都有一个共同的特点: 收敛性是通过对二元函 数适当的单调性假设来保证的。因此，在变分不等式的算法中，适当的函数单调性假设是至关重要的。 变分不等式理论被广泛地运用于各个领域，如经济学、物理学、工程学、优化与控制、运输业等。像 数学规划问题中的凸性一样，单调性在求解变分不等式时起到了非常重要的作用。为了研究变分不等式， Karamardian 和 Schaible 在文献中引入了各种单调映射。在文献中，Crouzeix，Marcotte 和 Zhu 引入了 单调加映射并利用切平面方法证明了求解变分不等式解的迭代算法的收敛性。Bigi 和 Passacantdo 在文献 中，给出了 12 种二元函数的单调性，并且概括了他们之间的关系。特别地，还分别对变分不等式和线性 均衡问题进行了详细地描述。

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2. 研究的基本内容与方案

2.研究设计的基本内容、目标、拟采用的技术方案及措施

2.1研究目标与研究内容

函数的极值是函数性态的重要特征 ,在实际问题中有广泛的应用 .文献 [ 1] ～ [ 3] 利用高阶偏导数或实二次型理论求解多元函数的极值 .如何利用方向导数求多元函数的极值 .为了叙述方便 ,着重讨论二元函数的情形 ,可类似推广到二元以上的多元函数 .

2.2技术方案

2.2.1 多元函数单调性的定义

一元函数 y=f(x)在某个区间上的单调性 , 如该区间 为 (-∞, ∞)时 ,可看成该函数在有向直线 x轴上的单 调性 ;如该区间为 [ a, b] 或 (a, b)时 ,可以看成该函数在 x 轴上的一条有向线段 (方向与 x轴正方向相同 )上的单调性等等 ,类似地 ,可定义二元函数在 xoy面上的一条有向线 段 ,有向直线或射线上的单调性 . 定义 : 设 AB为 xoy面上的一条有向线段 ,二元函数 z =f(x, y)在 AB上有定义 , 对于 AB上任意两点 P1 , P2 , 设 P1 P2 与 AB同向 .

若 f(P₁)lt;f(P₂),则称二元函数 z=f(x, y)在 AB上单调增加 .

若 f(P₁)gt;f(P₂),则称二元函数 z=f(x, y)在 AB上单调减少 .

2.2.2 多元函数单调性的判定法则