微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

正如大家所知道的，偏微分方程自然科学和社会科学各个领域以及在资源勘探与开发、金属冶炼工程、新能源开发、通信工程、大气物理、航天工程、遗产工程等各个领域都涉及到偏微分方程的理论和其重要作用。

偏微分方程方法是近年来一种新的信号处理技术，它在图像分割，图像重建，边缘检测，图像复原等领域得到了广泛的应用。偏微分方程法从机理上来说是二维方法。许多图像处理问题能够表达为最小化某个能量泛函，进一步转化为偏微分方程求解。

一般来说，现实中的图像都是带噪图像，所以为了后续更高层次的处理，很有必要对图像进行去噪。图像去噪的目的就是为了在减少图像噪声的同时，尽可能多的保持图像的特征信息。图像去噪存在一个降低图像噪声和保留细节的平衡性难题。传统的低通滤波方法在对保留图像细节的要求方面没有得到满意的效果。近年来，出现了一种新的去噪方法，基于偏微分方程的各向异性扩散去噪，它解决了去除噪声和保留边缘细节的兼容问题，在图像降噪处理中得到越来越广泛的应用。

椭圆型偏微分方程，简称椭圆型方程，一类重要的偏微分方程。早在1900年D.希尔伯特提的著名的23个问题中，就有三个问题是关于椭圆型方程与变分法的。八十多年来，椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果。椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有应用。拉普拉斯方程是椭圆型方程最典型的特例。

椭圆型偏微分方程描述了常定态物理现象，在弹性力学中的平衡问题，无粘性流体的无旋运动，亚声速流及渗流问题，位势场（静电磁场和引力磁场等）问题，热传导中的温度分布，扩散中的浓度分析及导体中的电子密度分布问题等都可用椭圆型方程的定解问题来描述。椭圆型偏微分方程是科学研究和工程实际中应用很广的一类方程，此类微分方程引起了科学家和工程师广泛而深入地研究。对椭圆型偏微分方程的研究，能让我们对拉普拉斯方程以及泊松方程问题的求解有进一步的了解和突破。极值原理是研究椭圆型偏微分方程解的最大模估计的一个十分有效的工具，它也能用于研究解的惟一性和稳定性。通过极值原理的学习，我们对拉普拉斯方程以及泊松方程的边值问题解得最大模估计有了一定的认知和理解，从而可以判断其解的惟一性和稳定性。

数学物理方程是自然科学和工程技术的各门分支中出现的偏微分方程,尤其是椭圆型偏微分方程，这些方程给出了所考察的物理量关于自变量（时间变量和空间变量）的偏导数的关系.例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理的范畴,数学物理方程侧重于模型的建立和定解问题的解题方法,而椭圆型偏微分方程则侧重于其自身的数学理论,所以椭圆型偏微分方程理论的研究是能够更好地将其运用于物理当中。椭圆型偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析、数论、拓扑学、代数、复分析等紧密联系.椭圆型偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念,基础思想和基本方法,并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响。

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