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对于已知部分多维边际的相关样本的顺序统计量分布

的极值性质

Andrzej Okolewski

摘要

设是随机变量的n元组，其中每个具有相同的分布函数F，且存在，使得对每个，所有的i元组有copula，这些copula都具有相同且已知的对角元素，可靠性系统是具有非负分量寿命的一个系统且具有这样的性质，对于每个，其所有i元的结构相同的子系统都具有相同且已知的可靠函数。我们提供了一个对经验分布的刻画，并用它推导出对于相关顺序统计量分布函数的任意线性组合的两侧（取决于F和），以及对于界的一致最优性建立了充要条件。此外，对于k=2和某些类别的，我们确定单个顺序统计量的随机极值分布。

1.引言

设是定义在共有概率空间下的一组随机变量，定义表示相关的顺序统计量。在对于基础样本边际的各种假设下顺序统计量分布的极值性质成为了值得关注的目标。当同分布且其结构的相互依赖性并没有限制时，Mallows[9]、Lai和Robbins[8]研究了样本的极大值的行为，在其边缘分布为均匀且任意的情况下，这些作者确定了随机极值分布。Rychlik[16,19]、Caraux和Gascuel[2]把Lai和Robbin的结果延拓到了对于所有顺序统计量。Rychlik[17]为任意相依同分布观察变量分布函数的线性组合提供了一致最优的界。此外，Rychlik[20]给出了在存在随机向量可能有不恒等的边缘分布的情况下，使得一个给定的顺序统计量的分布函数取得一个一致最优的界的充要条件。

在为阶数中最大（相应地，最小）稳定的假设下，即如果的分布（相应地，的分布）对于的容量为i的任意子集都一样，Papadatos[15]利用（相应地，）为单个顺序统计变量的分布函数建立了单侧的一致最优的界。对于顺序统计量分布函数线性组合的情形下，Okolewski[13]给出了Papadatos界的双侧延拓。

Mallows[10]考虑了具有均匀一维分布的3元2-独立样本的特殊情况，并为相关的顺序统计量的期望值提出了明确的界。解决这一问题非常复杂，作者也给出了他的结论，为此，他并没有考虑将问题延伸到3维边缘分布。然而，来自n元k-独立同分布的样本（见[7]）的顺序统计量的点可达分布界是已知的，也有除k-独立元素之外向相依结构的一些延伸（见[14]）。

在本篇文章里，对来自具有已知且相同分布函数Ｆ的随机变量中顺序统计量的分布函数线性组合，我们推出了它一致最优的界，使得对每一个，所有i元组都有copula，这些copula都具有相同且已知的对角部分。为研究此问题，我们提供了一个随机过程是的经验分布函数的充要条件，并用这一特性利用F和决定顺序统计量的界，也给出这些一致界一致最优性的充要条件。此外对于k=2和更广泛的2维相关样本，我们得出顺序统计量的随机极值分布。最后对k=2和一些其他2维对角相关样本，我们给出了顺序统计量分布函数的任意线性组合的一致最优界。当观察变量的互相依赖关系部分是已知的时候，这一研究结果

可应用于研究顺序统计量得性质，例如，对于顺序统计量期望值确定最优界及L-估计。

文章总体布局如下。在第二部分，我们介绍了对角相依的概念并给出了对角相关同分布观测值其经验分布的特性（定理2.1），在第三部分，我们应用定理2.1来决定顺序统计量一致的最优界（定理3.1）并提供一些明显的结果（命题3.3、3.7和推论3.5、3.9）。

2.对角相依概念

设是上的具有均匀分布的n个可交换随机变量的一个任意固定的联合分布，在续篇中，k和n是固定整数，，，而F为给定的分布函数。设，，；对所有的，令，，记为的copula，而为的l维边缘分布的copula。通常，对，。我们假设为一个随机向量，使得每个都有分布函数F且

（1）对任意及。从现在起，令X为具有同分布F的-对角相依的随机变量中构成的一个向量，或同样地，X是-对角相依且有着相同（一维）边缘分布F。当k=1时，条件（1）等价于是任意相依且有相同分布F的，满足条件（1）是的立体区域的均匀分布将被称为k-对角独立的。如果是k-对角相依的，对于不大于k的所有阶，它们是最大和最小稳定的（参见papadatos[15]）。

利用可靠性，对角相依的概念有自然的解释。事实上，一个具有非负寿命分量的可靠性系统具有这样的性质，对每一个，其所有分量为i（例如，其具有i个分量的串联子系统）的结构相同的子系统都有相同且已知的可靠性。为研究这个问题，观察任意固定的，结构函数（参见Barlow和Proschan[1]）且xgt;0，对所有，概率。在这和接下来，如果s为真那么为真，否则。

我们需要一个对-对角相依样本经验分布函数的刻画。令代表具有copula 的一些随机变量，且对所有有(。定义，对所有的，

（2）

记表示分布相同，及对任意整数a和b，如果，记作，否则。

定理2.1 令在内取值的任意随机过程，下列陈述是等价的、

（i）存在一个随机向量，它具有可交换的，对角相依的，且分布函数为F的随机变量，使得对任意xisin;R，

（3）

对每一个，是一个分布函数对都有

（4）

证明：为了证明，固定 且，设满足（1）和（3）。显然，对每一个，是一个分布函数。观察满足（1），意味着

现在我们证明（ii）可以推出（i）。令为在内取值的给定的随机过程且满足条件（ii）。其足以表明（3）对每一个，存在为可交换的，对角相依且分布函数为F的一个向量。对每一个，是一个分布函数，由Kaluszka和Okolewski[6]的定理1，对，存在可交换的随机变量满足（3）。把i=1时的（4）式与是同分布的且是同分布的实事结合起来，一个人能得出对于 和。剩下的要核实中满足（1）式。固定。令isin;，对，，其中表示集合的基数，因为是可交换的，且是可交换的，对任意，我们得到

类似地，

因此根据（4），对

(5)

应用关系式（5）到的后继值，对每个，得

(6)

最后固定，令，结合的可交换性和waring公式（见例Feller[3]），意味着对任意事件有

其中表示发生的事件数，根据关系式（6）及的可交换性，我们得到

。

证毕。

注2.2

（i）定理2.1是Kaluszka和Okolewski[6]所获得的结果对情形的一个推广。

（ii）随机过程样本满足定理2.1（ii）的条件对一些非平凡的相依结构满足定理2.1（ii）条件的随机过程的例子将会在第三部分给出。

（iii）引入如下定义则十分自然，令kisin;[1，n]，如果对所有的，，以及，那么n元随机向量据说具有k阶对角相依性质，其中函数仅依靠i，且代表某个n元可交换copula的i维子copula的对角部分，F是一个分布函数，按照惯例，对所有的，有。根据定理2.1证明的最后一部分，条件（1）可写成:对任意等价于对所有的等于0。最终得出结论：当且仅当X为具有可交换的，对角相依同分布随机变量的一个向量时，x具有对角相依性，其中为某个可交换的n元copula的k维子copula。

3.顺序统计量的界

这一部分我们应用定理2.1确定来自对角相依样本中一些顺序统计量的分布函数线性组合的最优上界及下界。其中和如第二部分所定义。假设为-对角相依且其所有的边缘分布函数等于F，每一个xisin;R，令

（7）

从定理2.1可以得出，一个随机过程与随机过程有相同的单变量分布，在[7]中联系到了某个-对角相依且具有边缘分布的随机向量，当且仅当在上取值且对每个，满足（4）及为分布函数；参见kemperman[7]。因为的分布，我们得出对任意固定和任意分布函数，当在上取值且满足（4）时，的最大值（相应地，最小值）可以决定的上界（相应地，下界），即对所有的，当且仅当对一些极大值（相应地，极小值）及每一个，是一个分布函数，最终的界是一致最优的，。

对每个，令，首先推出

的上界和下界，其中，为任意固定的实数。为此，给定取内的值且满足条件（4）时，我们求解了问题，令表示集合的凸包，其中。显然，是所有可能为矩点组成的紧集，的分布变化遍及上的所有分布，我们用来表示集合的凸包，其中。当然是包含所有可能矩点组成的紧集，其中随机变量在内取值。

现观察

(8)

是可能矩点的线性部分组成的紧集，其中的分布变化遍及上的所有分布且满足的情况，其中如在方程（2）中所示，定义

和 (9)

代表在R上的投影，它是通过忽略除去最后一个坐标的其余所有坐标而得到的，那么对任意固定的x，

(10)

下面我们要对界（10）的一致可达到性给出充要条件。用（相应地，）表示所有面（即k-维平面，见，例的k 1多面体，这些多面体关于最后一个坐标在其内部的上面（相应地，下面）决定了超平面）的集合。

我们可以假设，否则，令。对的所有元素的联合记为（相应地，)）并称为的上包络（相应地，下包络）。

如果且对，=，使得，那么我们记住具有k-多面体的一组为k-多面体P的剖面。观察到通过忽略来自（相应地，）的所有面的最后一个坐标所获得的投影集合（相应地，）。

令，令，。假设

（P1） 曲线与的任意一个内部k-多面体的交集是联通集或空集。

设。令，和，来自的k-多面体其内部与包含点的联通部分有最大的长度，令，其中，表示类似k-多面体的数量，是的顶点个数。

对所有的，令是一个随机过程使得

(11)

其中是给定的线性方程的一组解，对所有的，由

即对所有的，

(12)

显然，（12）与是一致的。

我们将做出另外的假设：

(P2) 对一些满足（11）-（12）的随机过程，对每一个，是一个分布函数。

对一些，令并令是一个仿射函数使得包含（具有顶点为),hellip;,()）的平面的的图像到上的投影等于。那么，并且

其中当时及当时，。根据定理2.1，当条件（P1）—（P2）是满足时，界（10）是一致最优的，因为（P1）是（P2）的必要条件，我们有如下结果。

定理3.1 设为任意固定实数。

（i）如果是-对角相依变量的对角元且有相同的分布函数，那么对每一个有双侧界（10）。

（ii）此外，对任意分布函数，条件（P1）—（P2）对可交换的，对角-相依的，且具由分布函数的随机变量的存在性是充分必要的，它对所有的，（10）的上不等式（相应地，下不等式）中的等号是同时取到

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