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摘 要

或.

基于Hellinger距离与参数的最大似然估计,建立了一个检验统计量.在一定的条件下证明了该统计量渐近服从自由度为2的卡方分布.最后用随机模拟的方法研究了所建立的统计量的稳健性,并且与似然比检验进行了比较.

关键词:正态总体,Hellinger距离,最大似然估计,假设检验,稳健性

Abstract: For two normal populations and ,the current paper investigates the hypothesis test problem:

or.

Based on the Hellinger distance and the maximum likelihood estimates of the parameters, a testing statistic is established. Under certain conditions, this paper proves that the preceding testing statistic asymptotically has a chi-square distribution with two degrees of freedom. With stochastic simulation method, this paper studies the robustness of the preceding testing statistic which is further compared with the likelihood ratio testing statistic.

keywords: normal population, Hellinger distance, maximum likelihood estimator, hypothesis testing, robustness.

目 录

1 引言 4

2 定义与引理 4

3 主要结果 6

4 数值模拟研究 10

参 考 文 献 14

致 谢 15

1 引言

对于两个正态分布的比较问题通常有两种方法,一个是关于均值的检验(包括方差相等情形下的标准的检验和方差不等情形下的Behrens-Fisher问题的各种近似的检验),另一个是关于方差齐性的检验,这两个检验都只是针对正态分布的一个参数的检验.但在许多情况下,人们研究的目的并不只是局限于检验正态分布的某一个参数, 而是要比较两组样本是否来自于同一个总体.对这一问题的检验就不能只作检验或检验.在这种情况下,一种办法就是利用同时区间估计的方法构造对两个参数的同时检验,另一个方法是进行两步检验,即先对方差的齐性进行检验,如果检验具有显著性,则作出两个总体不同的结论,否则,进一步作方差齐性条件下两总体均值比较的检验.这两种方法中无论哪一种, 都存在着在两个参数的检验上如何分配检验水平以使总的检验水平达到给定的值的问题,尤其是两步检验,如果方差的检验不能否定齐性的假定,正如所熟知的, 这只能说我们还不具有充分的证据显示方差的差异, 这并不表示方差是齐的, 因此进一步的检验也就失去了逻辑的基础.基于以上原因, 发展用于检验两个正态总体是否相同的方法是必要的.对于两个正态总体,的假设检验问题

或 (1)

文^[1]利用似然比的方法,建立了一个检验统计量,并给出了当显著性水平为0.05与0.01时的临界值表.本文利用Hellinger距离与参数的最大似然估计构造另一个检验统计量.在一定的条件下研究该统计量的渐近分布.用随机模拟的方法随研究所建立的统计量的稳健性,并与文^[1]建立的统计量进行比较.

本文是作如下安排的.在第1节中给出相关的定义与引理;在第2节中建立检验统计量,并且研究统计量的渐近分布;在第3节中用随机模拟的方法研究所建立的统计量的稳健性,并与文^[1]中的统计量进行比较.

2 定义与引理

定义1^[2]设总体与有共同的支撑,密度函数分别为,,

,为维的参数空间.称

(2)

为总体与之间的Hellinger距离.

注意到,因此,(2)式的另一个常用的形式为

. (3)

引理1 设总体,,密度函数分别为,

,则,与之间的Hellinger距离为

. (4)

证明 根据Hellinger距离的定义，得知与之间的Hellinger距离公式为

.

代入密度函数和，得

,

化简得，

.

又由于，

,

所以，

.

正态总体关于,的Fisher信息量分别记作,,关于,的Fisher信息矩阵记作,即,

,,

,

其中,为正态总体的密度函数,由文[3]知,,都存在,且有

.

引理2^[4] 设是来自正态总体的简单随机样本,则与的最大似然估计分别为,并且

. (5)

引理3^[1] 设是来自总体的简单随机样本,是来自总体的简单随机样本,记

,,,

则假设检验问题(1)的似然比统计量为

. (6)

推论1 .

证明 由文^[4]中的定理6.1可以直接得到.

3 主要结果

设是来自总体的简单随机样本,是来自总体的简单随机样本,分别为的最大似然估计,分别为的最大似然估计.利用(4)式,我们构造假设检验问题(1)检验统计量

. (7)

有如下定理成立.

定理1 当假设检验问题(1)中的原假设为真时,统计量渐近服从自由度为2的卡方分布.即.

证明 设(1)中的原假设为真,即.总体的密度函数记作,总体的密度函数记作.

关于在点的二阶Taylor公展开式为

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