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摘 要

贝叶斯公式是概率论中很重要的公式，它在社会生活领域应用极其广泛.文章先对贝叶斯公式进行分析研究，同时探讨了它在市场预测、案件侦破、信号估计等领域中的应用.接着，介绍了贝叶斯公式的一种推广形式，并举例应用.

关键词：贝叶斯公式，应用，市场预测，信号估计

Abstract：Bayesian formula is one of the most important formulas in probability theory, which is widely used in the field of natural science. The paper analyzes the Bayesian formula and explores the application of Bayesian formula in the fields of market forecast, cases detection, signal estimation, etc. Then, the paper introduces a generalized form of Bayesian formula, and application examples.

Keywords: Bayesian formula, application, market forecast, signal estimation

目 录

1 前言……………………………………………………………………………4

2 贝叶斯公式的定义……………………………………………………………4

2.1 贝叶斯公式…………………………………………………………………4

2.2 贝叶斯公式的密度函数形式………………………………………………5

3 贝叶斯公式的应用……………………………………………………………6

3.1 贝叶斯公式在市场预测中的应用…………………………………………6

3.2 贝叶斯公式在生产中的应用………………………………………………8

3.3 贝叶斯公式在案件侦破中的应用…………………………………………8

3.4 贝叶斯公式在信号估计中的应用…………………………………………9

4 贝叶斯公式的推广及应用……………………………………………………10

4.1 贝叶斯公式的推广定理………………………………………………….10

4.2 贝叶斯公式推广定理的应用 ……………………………………………10

结论………………………………………………………………………………12

参考文献…………………………………………………………………………13

致谢………………………………………………………………………………14

1 前言

贝叶斯(Thomas Bayes,1701—1763)，18世纪英国牧师、业余数学家，第一次将归纳推理法应用于概率论基础原理，并且创立了贝叶斯统计理论，对统计决策函数、统计推断、统计的估算等统计思想与方法也做出了不可磨灭的贡献，并于1763年发表了这方面的论著——《论有关机遇问题的求解》，对现代概率论和数理统计学科的发展起着很重要的推进作用.

贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今，其思想和方法对概率统计的发展产生了深远的影响.今天，贝叶斯理论在许多领域都获得了广泛的应用.从二十世纪20-30年代开始，概率统计学出现了“频率学派”和“贝叶斯学派”的争论，至今，两派的恩恩怨怨仍在继续^[1-2].

贝叶斯方法是源于他生前为了解决“逆概”问题写的一篇文章，然而这篇文章是他死后由他的朋友发表的.在贝叶斯写这篇文章之前，当时的人们已经能计算出“正向概率”，例如“设袋子里面有个白球和个黑球，任意摸一个，问你摸出黑球的概率”.当我们把问题反过来的时候，就变成“事先我们并不知道袋子里面黑白球的比例，而是任意摸出一个球（或多个），然后再观察球的颜色，就此再推出袋子里面黑球的个数”.

贝叶斯方法贯穿概率论的整个知识体系，并将它的应用运用到各个领域，在所有概率预测的地方都能看到贝叶斯方法的影子. 贝叶斯公式是全概率公式的逆公式,是用来由果推因的.现实世界原本就是不确定的，而人类的观察能力是有局限性的，我们只是观察事物表面的结果，却往往忽略其真正的意义.在这个时候，我们就需要作出猜测，猜测当然是不确定的，但也不是瞎蒙，具体来说，我们需要做两件事:计算出各种不同猜测的可能性；算出最有可能的猜测是什么.

贝叶斯公式可以用来解决市场预测、信号估计和案件侦破等一系列不确定的问题.下文首先分析了贝叶斯公式的概念，再用贝叶斯公式来解决实际中的一些问题.之后将贝叶斯公式推广，并对其应用进行举例.

2 贝叶斯公式的定义

2.1 贝叶斯公式

定义2.1^[3] 设为 的一个分割，即互不相容，且，如果， ，则有

. （2.1）

（2.1）可以作如下解释：假定有个两两互斥的“原因”可引起同一种“现象”的发生，若该现象已发生，利用贝叶斯公式可以算出由某一原因()所引起的可能性有多大，如果能找到某个，使得

，，

则就是引起“现象” 最大可能的“原因”. 生活中经常会遇到这样的情况，事件已发生,我们需要判断引起发生的“原因”，这就需要用到公式（2.1）来判断引起发生的“原因”的概率.贝叶斯决策是在不完全情况的条件下，对仍未知道的一部分状态用主观概率进行估计，然后再利用贝叶斯公式对发生概率进行修正运算，最后根据期望值和修正概率来做出最优的决策.

2.2 贝叶斯公式的密度函数形式

上面的贝叶斯公式（2.1）是用事件的概率形式给出的，下面给出在贝叶斯统计学中同样具有广泛应用的贝叶斯公式的密度函数形式.

设是一个连续型随机变量,密度函数为，其中是一个参数，不同的对应不同的密度函数.

贝叶斯认为,在给定后是个条件密度函数，因此记为更恰当一些.我们对参数已经积累了很多资料，经过分析、整理和加工，可以获得一些有关的有用信息，这种信息就是先验信息.

根据参数的先验信息可了解先验分布.再从总体中随机抽取一个样本，得到样本的联合密度函数

.

在这个联合密度函数中，当样本，给定之后，未知的仅是参数了，我们关心的是样本给定后，的条件密度函数，依据密度的计算公式，容易获得这个条件密度函数

,

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