论文总字数：8136字

摘 要

本文扼要叙述了数学期望与方差的定义、性质并举例探讨了求解随机变量的数学期望与方差的若干方法，深入探讨了随机变量期望与方差的部分定理和其应用。当代现实生活中，愈来愈多的领域、愈来愈多的决策需要引用数学期望与方差及其相关思想来对事件发生可能性的大小、方案预期效益可行性的大小等等进行评估。本文从生活中选取真实案例求解其数学期望与方差，通过对期望与方差的分析得出科学有效的判断，同时加深理论知识在实际中的运用。

关键词：数学期望，方差，案例

Abstract：This article briefly describes the definition and properties of mathematical expectation and variance and, for example, this paper discusses the solution method of mathematical expectation and variance of several random variables, deeply discusses the expectation and variance of random variable section theorem and its applications. Contemporary in real life, more and more decisions require reference mathematical expectation and variance and its related thoughts to evaluate were expected benefits and so on. In this paper, from the selection of life real case to solve the mathematical expectation and variance, based on the expectation and variance analysis of the scientific and effective judgment, at the same time deepening theoretical knowledge in practical use.

Keywords：mathematical expectation, variance, case

目 录

1 引言 4

2 预备知识 4

2.1 定义 4

2.2 性质 6

3 求解方法 6

3.1 随机变量分解法 6

3.2 特征函数法 8

3.3 矩母函数法 9

3.4 全期望全方差公式法 10

4 实际应用 11

4.1 数学期望和方差在投资风险程度分析中的应用 12

4.2 数学期望与方差在农作物决策问题中的应用 13

4.3 数学期望在医学疾病普查中的应用 14

结 论 16

参 考 文 献 17

致 谢 18

1 引言

本论文讨论的是随机变量的期望与方差，这二者在数学领域属于最为基本的数学特征.

数学期望，换言之就是随机变量取值的平均水平的体现.十七世纪，来自法国的著名数学家帕斯卡接受了来自某位赌徒的挑战.在这个挑战中，赌徒给帕斯卡出了一道题目，他说：“甲和乙赌博，假如每场赌博无论谁获胜这个机率都是一样的，同时规定首先获胜三局的那个人就是赢家，奖励赢家的筹码是100法郎.在第三局赌局结束时，甲已经胜出两局，而乙胜出一局，这个时候甲乙之间赌博终止，那么要如何分配这100法郎才能令甲、乙都觉得公平呢？”运用概率论的相关知识，我们不难得知，甲赢得比赛的可能性是，在第三局甲胜利，或者第三局甲输了，第四局却赢了，其概率为.乙获胜的可能性是，乙赢了第三、第四局，其概率为.由以上运算所得出的结论可以做如下判断，甲期望得到法郎，而乙期望得到法郎.上述故事中提到了“期望”这个词语，这也正是数学期望的由来.

方差，换言之是衡量随机变量或一组数据离散水平的度量.方差常见于概率论中度量随机变量及其数学期望之间的偏离程度.统计过程中的方差是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数.罗纳德·费雪最先在其论文 ^[1]中提出“方差”这一词语.

当代的实际生产活动中，愈来愈多的决策有必要应用到数学期望与方差的思想来对事情发生的可能性的大小进行估计，通过计算并分析数学期望、方差可以较为科学、有效地得出不同计划所出现的偏差的大小及其预期效果，由此来决定我们要抉择的“最佳计划”.因而对期望与方差进行更深化的研讨认识是非常有必要的^[2].

2 预备知识

2.1 定义

定义1 若离散型随机变量可能取值为,其分布列为,则当

时，称存在数学期望，并且数学期望为

如果

则称的数学期望不存在.

当为连续型随机变量,假设该随机变量分布密度为,若

则称随机变量的数学期望为

定义2 设是一个离散型随机变量,数学期望存在，若存在,则称为随机变量的方差,记为或者.

方差的平方根又称为标准差，常记为.在实际问题中标准差用得很广泛，其优点是它具有与相同的量纲（或因次）.

如果的分布函数为,则

.

由以上定义可以推导出

当为离散型随机变量,设其分布律为,则

当为连续型随机变量,设其分布密度为,则

2.2 性质

性质1　对于随机变量, 下列四个结论相互等价

1、;

2、与不相关;

3、 ;

4、.

性质2 对于期望为随机变量,则当且仅当时方差.

性质3　若随机变量有阶(原点)矩,它的特征函数可微分次^[6], 则有以下公式

性质4　如果随机变量的方差都存在,则有

全期望公式 ;

全方差公式 .

性质5　设随机变量), 它的分布函数为, 那么的充要条件为

且

3 求解方法

许多随机变量的分布都与它的期望和方差有关, 因此,计算随机变量期望与方差的方法很多.本文主要列举随机变量分解法、特征函数法、母函数法和全期望全方差公式法.

3.1 随机变量分解法

某些情况下间接利用公式或者定义计算随机变量的数学期望可以使得计算更为简单,若能够将表示成若干个随机变量的和,而且每一个加项的分布容易求出或者数学期望已知,则等于各项的数学期望之和.^[6]

例1　电视工厂生产某一型号的液晶电视，生产过程中产出的产品为废品的概率为,为保证生产质量，工厂规定当生产出件废品后强制停工检修一次,求在发生两次检修之间电视工厂所生产的产品总数的数学期望与方差.

解　可以将每一台电视的生产视为一次实验,令A 表示“ 产品为废品” 事件,已知,由题意可知服从参数为的负二项分布,直接求和比较麻烦.则令为第台废品和第台废品出现之间的那段时间所生产出的产品件数,由实验的独立性可以知道服从参数为的几何分布且之间满足独立同分布,于是

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