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摘 要

本文对200多名大学生的身高和臂展进行了抽样调查，以国家标准人体测量方法进行统计并用概率论的方法研究了成年人的身高和臂展的关系.首先文章对搜集到的数据进行筛选，然后利用条件期望的知识对身高和臂展的关系进行研究，由此得出成年人身高和臂展的关系式为.其中，我们设定臂展为x，身高为y，测量单位为厘米.

关键词：二维随机变量，条件期望，抽样调查

Abstract：More than 200 college students were sampled to investigate the relationship between the height of adults and arm span by means of the national human body measurement method and the probability theory method in this paper. Firstly, we sift through the collected data, then use the knowledge of conditional expectation to study the relationship between height and arm span, The relationship between adult height and arm span was . Among them, we set the arm span to x, height to y,measured in centimeters.

Keywords: Two-dimensional random variable, Conditional expectation, Sample survey

目 录

1 前言 4

2 理论推导 5

3.数据预处理 7

4.模型设定 9

4.1 预测一定臂展条件下学生的平均身高 9

4.2 预测一定臂展条件下女生的平均身高 10

4.3 预测一定臂展条件下男生的平均身高 11

结 论 13

参 考 文 献 14

致 谢 15

附 录 16

1 前言

近些年，条件期望应用于多个领域，如大数据科学、数理统计、物理工程、经济领域.而在统计推断方面，条件期望的应用最为显著.利用条件概率，我们可以对实际问题进行分析，通过对数据的处理，解释数据之间的关系，对数据进行判断以及修正.在经过对大量资料的研读，以及对条件期望的研究，探究发现了它在统计推断方面的应用以及对实际问题的预测对我们的实际生活能提供帮助.

例如在人的成长发育过程中，我们身体的各个部分与自身的身高存在一定程度上的关系.根据这些关系可以推断人的身高.在实际生活中，我们可以通过研究臂展和身高的关系用臂展长推测案犯的身高帮助公安破案，此外也可以为国家选择运动健将提供依据，尤其是在篮球运动方面.由于国内对条件期望以及对身高与臂展的关系的有关专著、文献并不是很多，也不系统.本文主要参考了陈希儒^[1]与茆诗松^[2]的《概率论与数理统计》中的知识，并结合自己所学的知识得到对条件期望的体会，对条件期望的性质应用做出了一定的总结.

本文主要利用条件期望研究了男女生身高和臂展之间的关系.对205名男女青年进行随机抽样调查，测量了每个人的臂展以及身高.通过对数据进行收集整理，运用SPSS软件以及参数估计的方法对数据处理分析，最后得到身高与臂展的关系模型.

首先简单介绍在下文会用到的知识点.

定义1 若二维随机变量具有概率密度

其中均为常数，且gt;0，gt;0，lt;1则称服从参数为的二维正态分布，记作^[3].

定义2 设是来自总体的一个样本，用于估计未知参数的统计量称为的估计量，或称为的点估计，简称估计^[4].

在进行参数估计时，由于会有系统偏差，导致估计的值有一定的误差，因此，我们需对其做出一些合理性规定.

定义3 设是的一个估计，的参数空间为，若对任意的，有,则称是的无偏估计，否则称为有偏估计^[4].

注 当样本量趋于无穷时，有，称为的渐近无偏估计，即当样本量充分大时，可近似看作的无偏估计.

下面介绍本文涉及到的公式：

样本均值：

总体均值的无偏估计：

样本方差：

总体方差的无偏估计：

相关系数：

2 理论推导

定理1 若,则在给定条件下，服从一维正态分布

由此得

证明 若服从二维正态分布,其二维正态密度函数

由此得出，二维正态分布的边际分布为一维正态分布，则

.

那么二维正态分布的密度函数为：

得出为正态密度函数，即在给定的条件下，的条件分布为正态分布

，

其数学期望（也称条件期望）为

类似可得，在给定即在给定的条件下，的条件分布为正态分布

其数学期望是

1. 数据预处理

人类在生长发育的过程中，身体的各个部分会随着一定的比例生长^[5].在《中国成年人人体尺寸》^[6]与《工作空间人体尺寸》^[7]资料表明：年龄在18-25岁之间，男生的平均身高为168.6cm，臂展长度为169.5cm，女生身高为158cm，臂展长度为156.2cm.男生臂展与身高比例为1.0053，女生臂展与身高比为0.9886，两者比例都接近于1..我们根据人体测量仪对205名年龄18至23岁的大学生进行检测，其中100名为女生，105名为男生.测量方法规定如下：

臂展测量：两臂测向最大限度地水平伸展，两中指指尖点之间的直线距离，以厘米作单位.

身高测量：从头顶点至地面的垂距，以厘米作单位.

数据处理：用SPSS软件通过“分析”下“描述统计“下“探索”的统计分析，通过研究给出的图表发现异常值并剔除.

极值
			个案号	值
身高（cm）	最高	1	129	195
		2	133	193
		3	132	190
		4	118	187
		5	125	187a
	最低	1	12	150
		2	45	152
		3	93	153
		4	52	153
		5	20	153

通过上图这个极值图表，我们可以发现有五个过高的身高和五个过低的身高，为了研究数据结果的合理性，我们把以上涉及到的值从研究数据中剔除.

身高（cm）

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