摘 要

开普勒方程的本质是描述天体运动方程的积分。它描述了天体围绕自己的轨道运动时，运动的位置与时间的函数关系。如果要准确找出行星的具体位置，需要解开一组二阶常微分方程组，方程组里包含了6个积分常数，在天文学上称为轨道根数。要完全确定行星轨道和任意时刻在轨道上的位置，就必须观测求得这6个轨道根数。这6个轨道根数分别为：轨道的大小（半长轴a），轨道的形状（偏心率e），轨道在空间的3个方位和近日点方向在轨道平面内的位置。

在本文中分别采用了解析法,逐次逼近法和牛顿迭代法求解方程。对于某些可以用解析解的特定的开普勒方程，通过转化方程形式方法得到方程的解析解。对于普通的不能用解析法求解的开普勒方程，使用逐次逼近法求解，通过确定约束条件，可以根据方程构造其近似解序列的递推公式，之后再证明此序列的极限就是原方程的解。更好的是使用牛顿法迭代法，通过迭代，快速求得开普勒方程的数值解。

关键词：开普勒方程；解析法；逐次逼近法；牛顿迭代法

Abstract

The essence of Kepler's equation is the integral to describe the celestial bodies equation. It describes the motion of the object around its orbit, the position of the movement and the function of time. If we want to find out the exact location of the planet, we need to solve a set of two order ordinary differential equations. The equation group contains 6 integral constants which called orbital elements in astronomy. To fully determine the position of the orbit and any moment in the orbit, we must observe the number of these 6 orbital elements. The 6 orbital elements are: the size of the orbit (semi major axis a), the shape of the orbit (eccentricity e), the position of the orbit in the orbit plane at the 3 azimuth and the point of the orbit in the space.

In this paper, we use the analytical method, iterative method and newton method to solve the equations. Some specific Kepler equations can be solved with the analytical solution, by changing the equation to find the analysis answer. For common equations which cannot be solved with analytic method, we use the successive approximation method to solve them, through determine the constraints, we can construct the recursive formula of approximate solution sequence according to the equation, and then prove that time sequence limit is the original equation solution. The better solution is to use Newton's iterative method, by equation iteration, reaching the numerical solution of Kepler's equation.

Keywords：Kepler equation; analytic method; Successive approximation method；Newton iterative method

目录

摘要.........................................................................Ⅰ

Abstract.....................................................................Ⅱ

1 绪论 1

1.1研究目的和意义 1

1.2 国内外研究现状 1

1.3 主要研究内容及研究方法 2

1.4 开普勒方程的学术背景 2

2 开普勒方程 5

2.1 开普勒三大定律的发现 5

2.2 开普勒方程的推导 5

2.3 开普勒方程的意义 8

2.3.1 开普勒方程的几何意义 8

2.3.2开普勒方程的物理意义 10

3 非线性方程求根的方法 12

3.1二分法 12

3.2 不动点迭代法 15

3.3 牛顿法 17

4 开普勒方程的求解问题 19

4.1 解析法 19

4.2逐次逼近法 21

4.3 牛顿法 22

5总结与展望 24

参考文献 25

致谢 26

1 绪论

1.1研究目的和意义

开普勒方程反映天体在其轨道上的位置与时间t的函数关系。对于椭圆轨道，开普勒方程可以表示为E－esinE=M，式中E为偏近点角，M为平近点角，都是从椭圆轨道的近地点开始起算，沿逆时针方向为正，E和M都是确定天体在椭圆轨道上的运动和位置的基本量。

如果我们定义w为天体在其轨道运动的评价角速度，τ为天体过近日点的时刻，那么任给一确定的时刻t，式子M=w（t－τ）就是天体从近日点出发经t－τ时间运动的角度，即平近点角。由此可见，开普勒方程就是描述并给出天体运动位置与运动时间之间的关系。偏近点角E是过椭圆上的任意一点，垂直于椭圆半长轴，交半长轴外接圆的点到原点的直线与半长轴所成夹角。开普勒方程是一个超越方程，要得到其严格的分析解很难，但是，方程的唯一解已被证明是存在的。如果已知天体沿其椭圆轨道运动时的轨道要素，再由上述分析方法得到给定的时刻t所对应的平近点角M，再通过解析法，逐次逼近法或牛顿迭代法求解开普勒方程，得到偏近点角E，最后利用二体问题的积分得到t时刻天体在轨道上的坐标和速度。

开普勒方程的本质是描述天体运动方程的积分。它描述了天体围绕自己的轨道运动时，运动的位置与时间t的函数关系。如果要准确找出行星的具体位置，需要解开一组二阶常微分方程组，方程组里包含了6个积分常数，在天文学上称为轨道根数。要完全确定行星轨道和任意时刻在轨道上的位置，就必须观测求得这6个轨道根数。这6个轨道根数分别为：轨道的大小（半长轴a），轨道的形状（偏心率e），轨道在空间的3个方位和近日点方向在轨道平面内的位置。而我们要求得行星运动的真近点角，就得去解开一个复杂的超越方程，以此来推导出了θ与E之间的关系，这样θ与t的关系也可以通过推导确定，这就确定了行星运动位置与时间的关系，这对天体的研究有重要意义。

1.2 国内外研究现状