1. 研究目的与意义及国内外研究现状

热传导方程是十分常见的偏微分方程，也是抛物线型偏微分方程中最简单的例子，它用于描述一个区域内温度如何随时间变化。因为热量是从高温处向低温处传播的，所以在不考虑热源的情况下，热传导方程的解具有将初始温度逐渐平滑化的特性。对热传导方程的数值模拟，可以更加直观地了解其特点，从而有利于研究热能扩散。更进一步地，可以利用热传导方程的扩散作用模拟大气中污染物浓度的变化，进而有助于空气污染物的预防和治理，减少空气污染带来的危害与损失。另外，热传导方程还经常用于验证数值计算方法的性能和合理性。

许多偏微分方程是无法通过微积分方法求出解析解的。因此为了研究其解的性质需要利用数值计算的方法，用数值解模拟解析解，从而研究偏微分方程解的性质。数值计算是利用某些计算方法得到的离散的解，常见的方法如有限差分法，有限元方法，谱方法等等。这些离散的解是对解析解的模拟，显然，数值解的精确性不如解析解，但是在一定的误差范围内是可以看作解析解进行研究的。因此，数值计算就需要注重计算的稳定性，控制误差的范围。在提高数值计算精度的同时，计算量往往会成倍增加，这时利用计算机的高效计算速率，就可以处理更多更复杂的偏微分方程相关的数学模型。或者发展新的差分方法，在不增加计算复杂度的情况下提高精度。紧致有限差分法就是一种这样的数值计算方法，相比于一般中心差分法，它具有更高的空间精度，但其对网格节点数的要求并不高，计算复杂程度也没有大幅增加。

本课题将对紧致差分法拥有高精度的特性进行验证。因为数值模拟方法是否合理在于其精度是否够高，所以高精度的方法是受到人们高度关注的。紧致差分法是一种高精度的数值计算方法，所以可以针对热传导方程进行数值试验，对紧致差分法高精度的特性进行验证，从而掌握紧致差分法。

2. 研究的基本内容

首先以一维热传导方程为例，介绍有限差分法的基本原理和相关概念，然后引出对紧致差分法的详细讨论，比如基本思想，构造原理。再将紧致差分法运用到二维热传导方程的数值计算中。然后进行数值试验，内容安排如下：

1先介绍对二维热传导方程的差分方法，空间导数离散分别采用中心差分法和紧致差分法。

2在时间导数离散方面，计划采用tvdrk3格式，adi格式和隐式差分格式。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

先阅读相关文献，掌握与课题相关的知识，在此基础上详细介绍有限差分法的基本原理和相关概念，并用一维热传导方程为例介绍一般的有限差分法和紧致差分法。然后针对二维热传导方程进行数值试验，对比试验结果验证紧致差分法的高精度特性。当遇到问题时，如果自己无法解决可以和导师讨论。在论文基本完成之后，还需要按要求进行修正，改进。

计划每周与导师见面一次，报告一周内完成的论文进度，并按上面的顺序逐渐完成毕业论文。

4. 参考文献

[1]dennis s c r, hundson j d. compact finite-difference approximations to operators of navier-stokes type[j]. journal of computational physics，1989，85(2)：390-416

[2]lele s k. compact finite difference scheme with spectral-like resolution[j]. journal of computational physics,1992, 103(1): 16-42