行列式在解析几何中的应用

摘要

行列式是数学中的一个重要计算工具，在解析几何中有着广泛的应用，它不仅形势优美，而且便于记忆。论文系统的总结了行列式在解析几何中的一些重要方程中的应用，并且用行列式给出了一些多边形面积或多面体体积的计算公式。

关键词：行列式；解析几何；计算公式

1. 前言部分

线性代数是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题;因而,线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;通过解析几何,线性代数得以被具体表示。论文系统的总结了行列式在解析几何中的一些重要方程中的应用，并且用行列式给出了一些多边形面积或多面体体积的计算公式，通过行列式的引入使得解析几何中很多结论有简洁明了的结构化表述。

1. 主体部分

行列式是由解线性方程组产生的一种算式。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。

行列式的应用是线性方程组的求解，而且它的出现也是由线性方程组的求解问题引出的。1545年，意大利的卡当在著作《大术》中给出了一种解两个一次方程组的方法。这种方法和后来的Cramer法则已经很相似了，但卡当并没有给出行列式的概念。16世纪意大利的卡尔达诺和法国的笛卡等人几乎要发现行列式。行列式被明确的提出是在1683年，而且巧合的是它由两个属于不同的国家的数学家提出的，这两个人分别是德国的莱布尼茨和日本的关孝和。 1683年，莱布尼茨在写给法国数学家洛必达的信中提到：如果含两个未知数三个方程的线性方程组有解，那么，也就是相当于行列式，尽管他没能创造出完整的行列式理论体系，但是他明确地提出了求解线性方程组的过程中行列式的重要性，并掌握了行列式的结构和一些对称准则。

另一位提出行列式的人是日本的关孝和，他的著作《解伏题之法》直到他死后才由他的学生于1970年整理出版，在这本书中叙述了关孝和关于行列式的研究，他提炼并扩展了《九章算术》里的行消元法，同时提出了行列式。遗憾的是无论是关孝和还是莱布尼茨都没有系统的阐述行列式及其理论。直到1750年瑞士数学家克莱姆在他的著作《代数分析导论》中明确地提出了用行列式求解n个未知量n个方程（为正整数）的线性方程组的Cramer法则。

一个行列式本身是一个数，那么行列式是否可以像数一样进行加减乘除的四则运算呢？行列式的加法和乘法理论是由法国著名数学家柯西提出的，1812年柯西在法国科学院宣读了一篇论文，该论文完整而系统地描述了行列式及其对称性和计算法则。