1. 研究目的与意义及国内外研究现状

1.研究的目的：

20世纪由john crank与phyllis nicolson提出的crank-nicolson格式是求解非线性薛定谔方程中有限差分方法中的一种，用于数值求解热方程以及类似形式的偏微分方程。该方法在时间方向上是隐式的二阶方法，是无条件稳定的，对于很小的时间步长来说, crank-nicolson格式是最准确的格式。郭本瑜首次对非线性schrdinger方程的 crank-nicolson有限差分格式进行了研究[1]。该格式是一个辛差分格式，适合长时间计算，但该格式不能保持原问题的总能量守恒律，这给格式的收敛性证明带来了本质困难。而且由于该格式是完全非线性的，计算中不可避免地需要迭代，因此计算效率不高。另外由于很难得到该格式的先验估计，因此也很难建立算法的最优误差估计。基于以上认识，本文致力于给出并分析非线性薛定谔方程的线性化crank-nicolso格式。

2.研究的意义：

2. 研究的基本内容

本文对非线性Schrdinger方程构造一个新的线性化Crank- Nicolson格式，通过定义一个新的能量泛函来证明该格式在离散意义下保持原问题的总质量和总能量守恒，运用Taylor展开详细讨论新格式的局部间断误差，证明其在时空两个方向的精度都是二阶的。新格式在具体计算中不需要迭代，每个时间部只需要求解一个三对角线性代数方程组，为此我们引入追赶法进行高效求解。最后，通过大量数值实验来验证算法的精度和守恒性，并对非线性Schrdinger方程的某些动力学行为进行数值模拟。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

1.实行方案：

对非线性schrdinger方程线构造一个线性化crank-nicolson格式，通过理论分析给出格式的局部阶段误差和能量守恒性质，并通过上机编程进行数值模拟，验证算法的精度和守恒律，模拟相关动力学行为。

2.实行进度：

4. 参考文献

[1]b. guo.the convergence of numerical method for nonlinear schrdinger equation, jour-nal of computational mathematics, 4(2) (1986)121-130.

[2]d. j. griths. introduction to quantum mechanics, prentice-hall, englewood clis, nj, 1995.

[3]c. r. menyuk, stability of solitons in birefringent optical fibers, j. opt. soc. am. b 5 (1998) 392-402.

[4]m. wadati, t. izuka, m. hisakado, a coupled nonlinear schrdinger equation and optical solitons, j. phys. soc. jpn. 61 (1992) 2241-2245.