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文献综述

题目：欧拉积分及其应用举例

摘要：

欧拉积分在多个领域有广泛应用。本文首先介绍数学分析教材中给出的两种欧拉积分：贝塔函数和伽玛函数，对两个函数的定义域、连续性、可微性、递推公式、函数的某些形态、余元公式、倍元公式以及两个函数间的内在联系。然后详细讨论了欧拉积分在计算定积分、多重积分中的应用，通过典型例题来说明利用伽马函数、贝塔函数的性质有效的解决某些具有特殊类型的定积分计算问题。同时还将伽马函数、贝塔函数的性质应用于概率论中，为概率论中相关问题的顺利解决提供有力工具。

关键词：欧拉积分、性质、应用、定积分

前言：

微积分成为一门学科来说是在十七世纪，但是微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有比较清楚的论述。比如我国的周庄所著的《庄子》一书的“天下篇'中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
极限的思想方法可追溯到古代。中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积，求出圆周率pi;的近似值3。141024,并指出:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”。刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法，正是极限思想的具体体现。一个数列如果当n无限增大时，与某一实数s无限接近，就称之为收敛数列，s为数列的极限。

国内外研究概况：
十七世纪时，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题;第二类问题是求曲线的切线的问题;第三类问题是求函数的最大值和最小值问题;第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决。上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格，英国的巴罗、瓦里士，德国的开普勒，意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。欧拉积分是其重要贡献之一。它是以广义积分定义的特殊函数,在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述了伽马函数，贝塔函数的性质，并通过列举实例的方法揭示出二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学与不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用。