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文献综述

1. 前言

在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。高等代数是数学类专业最重要的基础课程之一，也是学习后继课程如近世代数、离散数学、数论等的基础。而矩阵在理论领域中处于核心地位，在应用领域中固然也有着很重要的作用，其应用是非常广泛的，我们在日常生活中无意识的应用着矩阵，像旅程时间表、学校用的课表，以及其他与行列有关的图表；在科技飞速发达的今天，矩阵在其他学科中也有着重要的作用，如物理学、生态学、社会学、计算机编程等，在经济领域和交通部门都有着重要的用途。所以对矩阵的研究有助于这些学科的发展与完善。反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵都是重要的实方阵，由于它们的一些特殊的性质，使得它们在不同的领域都有着广泛的作用，同时也推动了其他学科的发展。通过这三种特殊矩阵的已知定义与性质，研究在满足某些条件的情况下这三种矩阵或任意两种矩阵之间的关系。正交矩阵、对角矩阵和反对称矩阵的性质及其应用是矩阵理论的重要组成部分，它们在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置，同时它们有贯穿了高等代数的许多重要方面。对此课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识从而使我们更深刻地了解高等代数的相关理论。而对这三种特殊矩阵之间的关系的研究有助于我们学习和理解高等代数，推动高等代数这一学科的进一步发展，同时对促进其他相关学科的发展具有重要意义。

1. 正文

矩阵的概念在19世纪逐渐形成。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。英国数学家阿瑟·凯利被公认为矩阵论的奠基人。。他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。

正交矩阵是一种常用的特殊矩阵，在矩阵论中占有重要地位，它有着许多重要的性质并具有广泛的应用。2002年戴立辉、王泽文、刘龙章三人研究了正交矩阵的若干性质这一课题，他们通过对正交矩阵的深入研究，得到正交矩阵的一系列常用性质，这些性质是他们从前人的文献中的相关性质中概括、改进和推广得出来的，对矩阵的理论研究有重要意义。以下是从文献中了解到的正交矩阵的一些基本性质：

性质1 设A为正交矩阵，则：

1. 对A的任一行（列）乘以-1或任两行（列）互换，所得矩阵仍为正交矩阵；
2. |A|=plusmn;1，且A可逆，其逆也是正交矩阵；
3. 也是正交矩阵。

性质2 （1）设A为正交矩阵，lambda;是A的特征值, 则也是A 的特征值；

（2）设A为正交矩阵，则其特征值的模等于1，且属于A的不同特征值的特征向量互相正交。

性质3 (1) 设A为对称正交矩阵，则A必为对合矩阵( =E), 从而A的特征值只能等于plusmn;1 ;