全文总字数：2212字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

（1）选题的目的：自由边界问题与自然科学、工程等许多领域密切相关，其涉及到的生活、应用等问题经常和数学物理方程紧密结合在一起，自由边界问题的数值解法也受到广泛关注和研究。本文研究一类带自由边界微分-积分方程的数值解，希望通过边界固定法将方程自由边界转换为固定边界，并对新的方程用泰勒级数展开建立差分格式进行数值求解，最后用一个数值算例验证算法的有效性。

（2）选题的意义：近年来，自由边界问题受到广泛关注及研究。自由边界问题涉及到的生活、应用等问题经常和数学物理方程紧密结合在一起。很多数学物理模型都能够通过微分方程或者积分方程进行求解，微分积分方程的发展已有几百年的历史，其日渐完善的理论和解法，使我们能够利用微分积分方程有效地、准确地描述数学物理模型。微分积分方程在理论与实际应用中具有重大的意义，由于绝大多数微分积分方程很难甚至不能求其解析解，所以微分积分方程数值解的求法就尤为重要，因此对于一类带自由边界微分积分方程的数值解的研究也十分重要。

国内外研究现状

自由边界问题涉及自然科学、工程力学等许多领域，并且是这些领域十分重要的研究问题，其中肿瘤生长的相关问题、种群迁移的问题、图像处理问题以及水坝的渗流问题等都受到了广泛的研究。

2. 研究的基本内容

本文研究一类微分-积分方程自由边界问题的数值求解问题，采用边界固定法，通过适当变量代换将自由边界变为固定边界，得到新的方程，并对新的方程用泰勒级数展开建立差分格式进行离散近似，求其数值解，最后进行数值模拟，以一个具体的数值算例来验证算法的有效性。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施方案：针对本文研究的带自由边界的微分-积分方程的数值解的问题，分析方程，采用边界固定法来进行方程的变换，将自由边界转变为固定边界，得到新的方程，并对新方程用有限差分的方法进行离散近似，最后进行数值模拟。

进度安排：2017.12-2018.02搜索相关文献，查阅书籍资料，了解自由边界问题的含义及与其密切相关的生活、应用等方面数学物理问题，研究与之相关的数学物理方程的数值解法；2018.03-2018.05归纳整理该问题的含义及背景，设计适应方程的数值解法，在指导教师的指导下，对相关内容进行调整和分析。

预期结果：通过边界固定法对方程变换后，对新方程建立差分格式，能够求出其数值解，通过数值算例得到数值解和精确解的趋势图及误差分析图，验证此算法的有效性。

4. 参考文献

[1]crank j. free and moving boundary problems[m].clarendon press,1984.116-254.

[2]费里德曼 a．抛物型偏微分方程[m]．夏宗伟，译．北京：科学出版社，1984．

[3]greenspan h.models for the growth of solid tumors by diffusion.stud appl math,1972,51:317-340.