全文总字数：3545字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

长短波方程是无穷维动力系统中一类重要的共振模型，用来描述流体力学中的长短波相互作用，也被用来描述重力和毛细血管的波模型。除此之外，该方程的研究在等离子物理学中也有广泛应用，所以对该类方程的求解就是一个很有意义的课题，然而关于它的精确解往往很难得到，在这种情况下，数值求解就变得极为重要。本文拟对该方程构造一个新的有限差分格式，新格式在时间和空间方向上均具有二阶精度，具有良好的稳定性且在离散意义下很好地保持总质量与总能量守恒。

国内外研究现状

长短波方程是一类非线性共振波方程组，是无穷维动力系统中应用较为广泛的一个共振模型。通常情况下，短波通常用薛定谔方程描述，长波由包含色散项的波方程描述。许多文献中[4]-[7]中已给出关于长短波方程初值问题的精确解及其性质的研究，其中郭[5]讨论了关于长短波方程的全局解，Tsutsumi等[7]研究了关于长短波共振方程柯西问题的适定性。近年来，许多数值方法被用于求解长短波方程，其中包括有限元法、谱方法、有限差分法等。Liu和Lv提出了关于长短波方程的一类拟谱方法[8]。Chang等也提出了一些数值格式，包括Crank-Nicolson隐格式(CNI)，三层Richardson外推格式以及分裂步谱方法[9]。由于高阶紧致有限差分格式[10]-[16]通常能保持较高的精度和分辨率，经常被用来计算难以直接求解的偏微分方程（组）。本文在参考以上文献的基础上，对LS方程构造出两个有限差分格式，使短波曲线函数与长波振幅函数收敛精度在时间和空间方向上均达到二阶精度，并且能在离散意义下保持原问题的两个守恒性质。

2. 研究的基本内容

1、首先介绍一下长短波方程的物理背景及其守恒律，并综述一下研究现状。

2、提出两个新的有限差分格式，运用taylor展开，详细推导出新格式的局部截断误差；

3、证明新格式能在离散意义下保持原问题的两个守恒性质；

3. 实施方案、进度安排及预期效果

1.实行方案：

我们对耦合非线性长短波方程组进行了数值研究，用泰勒展开计算了新格式的局部截断误差，证明新格式在离散意义下的守恒律，通过数值算例验证了精度和守恒情况，并对孤波碰撞等现象进行了数值模拟。

4. 参考文献

[1] Djordjevic V.D., Redekopp L.G., 2-dimensional packets of capillary-gravity waves, J. Fluid. Mech. 79 (1977), 703-714.[2] N.Sepulveda,Solitary waves in the resonant phenomenon between a surface gravity wave packet and internal gravity wave,Phys.Fluids,1987,30(7):1984-1992.[3] T.Ogawa,Global well-posedness and conservation laws for the water wave interaction equation,Proc.Royal Soc.Edinburgh,1997,127A:368-384.[4] Benney D J,General theory for interactions between short and long waves [J],Studies in Applies Mathematics,1977,56(1):81-94.[5] 郭柏灵，The Global Solution for One Class of the System of LS Nonlinear Wave Interaction [J],Journal of Mathematical Research with Application(数学研究与应用(英文))，1987(1):69-76[6] Ma Y C,The complete solutionofthelong-wave-short-wave resonance equations [J],Studies in Applied Mathematics,1978,59(3):201-221.[7] Tsutsumi M,Hatano S,Well-posedness of the Cauchy problem for the long wave-short wave resonance equations [J],Nonlinear Analysis,1994,22(2):155-171.[8] Liu Z, Lv,, S,Rational Chebyshev pseudospectral method for long-short wave equations [J],Journal of Physics:Conference Series,2017,814(1):012-016.[9] Chang Q, Wong Y S, Lin C K,Numerical computations for long-wave short-wave interaction equations in semi-classical [J],Journal of Computationan Physics,2008,227(19):8489-8507.[10] 王兰，段雅丽，长短波方程的高阶紧致差分格式[J].应用数学与计算数学学报，2015，29(3):295-304.[11] Lele S K.Compact finite difference schemes with spectral-like resolution [J],Journal of Computational Physics,1992,103(1):16-42.[12] Spot W F ,Carey G F,Extension of high-order compact schemes to time-dependent problems [J],Numerical Methods for Partial Differential Equations,2001,17(6):657-672.[13] Sun Z, Compact difference schemes for heat equation with Neumann boundary conditions [J],Numerical Methods for Partial Differential Equations,2010,25(6):1320-1341.[14] 王廷春，郭柏灵，一维非线性薛定谔方程的两个无条件收敛的守恒紧致差分格式[J]，中国科学数学：中国科学，2011，41(3):207-233。[15] 王廷春，王国栋，张雯，何宁霞，求解耗散薛定谔方程的一个无条件收敛的线性化紧致差分格式[J],应用数学学报，2017，40（1）：1-15.[16] Wang T,Optimal point-wise error estimate ofa compact difference scheme for the Klein-Gordon-Schrodinger equation [J],Journal of Mathematical Analysis Applications,2014,412(1):155-167.