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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

现实中高振荡积分问题是实际上是一个非常重要的研究课题，比如在量子化学、图象分析、电动力学、正电子发射型断层扫描术、单光子发射型断层扫描术、流体力学等问题的计算中，其核心就是研究高振荡积分的有效计算方法。然而，当振荡频率远远超过积分结点的数目时，经典积分方法对应用广泛的高振荡积分，例如傅立叶（fourier）变换、贝塞尔（bessel）变换等问题的数值计算将失去效用。因此，求解高振荡积分的新型、高效数值算法是十分必要的。

在工程应用中，常常要计算含有振荡函数的积分∫ _a^bf(x)g(ωx) , ω1，f(x)为非振荡函数，g(ωx)为依赖于ω的高振荡函数，若ω越大f(x)g(ωx)就振荡的越严重，即它与x轴交点就越多。解决此问题的方法有复化梯形公式，复化simpson公式，此外还可以建立插值多项式，若将它们建立起插值多项式为了保证精度，进行高次插值是必不可少的。然而由于runge现象，而且当插值次数接近无穷时，多项式会有一个是否收敛到函数的问题，结果显示求积计算不稳定，并不能对高振荡积分函数进行有效的计算；然而利用复化梯形公式，复化simpson公式对于高振荡积分函数的计算也是无法达到理想的计算精度。

2. 研究的基本内容

本文所研究的是对于高振荡积分的有效解法。高振荡函数积分，属于数值积分的一个范畴，常用于应用数学领域。对其求解的公式如复化梯形公式，复化simpson公式.

工程问题中有时要计算如下形式的积分：

3. 实施方案、进度安排及预期效果

二月份：以论文题目为核心，对相关资料进行收集和翻阅。

对已搜集的资料加以整理，论证分析论文的可行性、实际性，将论题的大致范围确定下来。

三月份：整合已有资料、构筑论文的大纲。

4. 参考文献

1. A Iserles:S P Norsett Effcient Quadrature of highly-oscillatory integrals using derivatives,[Report.no.NA2004/03.DAMTP.University of Cambridage]2. D Levin Fast integration of rapidly oscillatory functions[外文期刊] 1996（1）3. A Isedes On the numerical quadrature of highly-oscillating integrals Ⅰ:Fourier transforms,[Report.no.NA2004/05.DAMPT.University of Cambridage]4. A Isedes On the numerical quadrature of highly-oscillating integrals Ⅱ:Irreglar oscillators.[Report.no.NA2004/09.DAMPT.University of Cambridage]5. 蒋淑芬 工程应用中高振荡函数积分的高效算法[学位论文]20076. 赵海清 ZHAO Hai-qing 一类高振荡积分的新方法[期刊论文]-惠州学院学报2007,27（3）7. 李毅夫 对振荡函数数值积分方法的进一步探讨[期刊论文]-数学的实践与认识2002,32（1）8. 陈钊 高振荡微分方程的对称数值解法[学位论文]20089. 佟丽丽 高振荡问题及一些高效算法[学位论文]201010. 孙志忠 袁慰平 闻震初，数值分析(第3版). [M]东南大学出版社，2010 12