近几十年以来，在材料科学，信号处理，地球物理等许多科学技术领域，都提出“由效果，表现反过来求原因，原象”的问题，通称为“数学物理反问题”。由于此类问题有广泛的应用背景，理论新颖具有挑战性，因此吸引了国内外众多学者从事该问题的研究。

反问题的研究经常遇到一些困难，主要体现在三个方面：

（1）存在性：要求的反问题的解有可能不存在，无解的原因各种各样，可能是在定向设计时问题提法不合理，也有可能是测试时接收到假信息，将研究引入了歧途。

（2）唯一性：有的反问题解虽然存在但不唯一，甚至无穷个解。这是收集到的信息不够的原因，不足确定解的性态，大多数反问题真正解只能有一个。

（3）稳定性：利用各种计算手段，由接收的信息来反演物质结构和特性是反问题研究的重要内容。但实际上接收的过程有可能会产生误差，这种微小的误差都会导致反演结果失之千里。

存在性，唯一性，稳定性三者有一个不满足的情况下，就称该问题为不适定性问题，这就是数学物理反问题的难点所在。若不用特殊方法求解，就将得不到合理的答案【1,6,16,17】。

对于热传导问题，在有界的区域上给定t0时初始温度的分布和对应的边界条件，再确定介质中温度场的分布是经典的热传导正问题。逆时热传导问题，是由介质在某一时刻T0时温度场的分布u(x,T):=f(x)来求时的温度，这是一类数学物理反问题。

与热传导正问题相比，逆时问题有如下特点：

1. 此问题不是对任意给定的函数f(x)都存在解的。

2. 初始的温度场的数据对t=T的温度场不会具有连续依赖性，即逆热传导问题的不适定性。

热传导问题通常有三种边界条件：Dirichlet条件，Neumann条件和Robin条件。其中Neumann边界条件是边界上扩散的过程与边界上的热流强度之间的关系。Neumenn条件反应了边界面对整个热扩散的速率，在传热工程及以其为基础的实验技术中，有着重要的应用。

过去很多学者研究过逆时热传导问题。例如，文献【5】提出了磨光化方法；Jourhmane和Mera 利用正则化的迭代算法近似逆热问题【9】；Kirkup和Wadsworth给出了算子分裂法【13】；文献【7，8，11,12，15,8】利用拟逆性正则化方法求解逆时热传导问题。另外，还有一些学者致力于计算方面。例如，文献【4,10】利用边界元方法进行数值计算，但是并没有做理论分析；文献【2，3，14】从理论的角度给出逆时热传导问题的误差估计。

由于逆时热传导问题的重要应用价值和在数学上求解的困难，吸引了很多学者展开研究。先后在2000年的日本长野和2002年中国香港国际研讨会上把逆时热传导问题列为重要议题。由对线性逆时热传导方程的研究正逐步转向到对非线性逆时热传导方程的研究；由一般的逆时热传导方程研究逐步向瞬态逆时热传导方程的研究转化等。由于热传导问题研究历史较短，加之反问题的不适定性与非线性，以及实际问题复杂，以至于求解会远比正问题远复杂和困难得多，所以在理论计算和应用上有许多工作都需要今后进一步的研究与探讨。

基于研究现状分析，本文将研究如下问题：

（1）利用特征函数法，求解下面的热传导方程初边值问题。

其中， 表示杆的初始初始温度，f(x)表示热源密度，杆左右端的热流强度。

（2）利用（1）解的级数表达式，求解下面逆时热传导问题。

其中，g(x)表示时间为T时的温度分布值，f(x)表示热源密度，l表示杆的长度。

实施方案：首先是利用特征函数法，给出热传导方程在Neumann条件下，解的级数表达式；然后利用解的级数表达式说明逆时问题的不适定性；接着，基于解的级数表达式构造逆时问题的数值计算方案；最后对正问题和反问题分别进行数值实现，验证之前的理论分析和数值实现方案。

进度安排： 2月11日--2月18日认真阅读参考文献，构思论文的结构。

2月19日--3月20日查找翻译相关英文文献，完成论文初稿。

3月21日--4月20日 修改论文。

4月21日--5月4日修改并形成定稿。

5月5日--5月8日 准备论文答辩。

5月8日--5月19日论文答辩。

预期的成果：首先给出热传导方程在Neumann边界条件下的级数形式解；在此基础上对逆时热传导问题构造稳定的数值实现方案，并在计算机上完成数值实验，验证算法有效性。

[1]Afet.Golayoglu Fatullayev,Numerical solution of the inverse problem of determining an unknown source term in a heat equation,Math.Comput.Simulation, 58 (2002), 247-253.

[2]B.Yildiz,H.Yetis,A.Sever,A stability estimate on the regularized solution of the backward heat problem, Appl.Math.Comput., 135(2003), 561-567.

[3]B.Yildiz,M.Ozdemir,Stability of the solution of backward heat equation on a weak compactum, Appl.Math.Comput., 111(2000), 1-6.

[4]D.Lesnic,L.Elliott,D.B.ingham, An iterative boundary element method for solving the backward heat conduction problem using an elliptic approximation, Inv.Prob.Eng. 6(1998 ), 255-279.

[5]D.N.Hao, A mollification method for ill-posed problems, Numer.Math., 68(1994), 469-506.

[6]H.W.Engl, M.Hanke, A.Neubauer, Regularization of inverse problems, Kluwer academic publishers, London, 1996.

[7]K.Miller,Stabilized quasi-reversibility and other nearly-best-possible methods for non-well pose problem, Symposium on Non-Well Posed Problems and Logarithmic Convexity,Lecture Notes in Mathematics, 316(1973), 161-176.

[8]L.V.Mel’nikova,Q.Zheng,J.Zheng,Regularization of weakly ill-posed Cauchy problem, J.Inv.Ill-posed Prob, 10(5)(2002), 385-393.

[9]M.Jourhmane,N.S.Mera,An iterative algorithm for the backward heat conduction problem based on variable relaxation factors, Inv.Prob.Eng., 10(2002), 293-308.

[10]N.S.mera,L.Elliott,D.B.Ingham,D.Lesnic, An iterative boundary element method for solving the one dimensional backward heat conduction problem, Int.J.Heat Mass Trans., 44(2001), 1937-1946.

[11]R.E.Ewing,The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations, SIAMJ.MATH.Anal., 6(2)(1975), 283-294.

[12]R.Lattes,J.L.Lions, Method de Quasi-reversibilite et Applications, Dunod,Paris, 1967.

[13]S.M.Kirkup,M.Wadsworth, Solution of inverse diffusion problem by operator-splitting methods, Appl.Math.Modell., 26(2002), 1003-1018.

[14]T.Schroter,U.Tautenhahn, On optimal regularization methods for the backward heat equation, Z.Anal.Anw., 15(1996), 475-493.

[15]Y.Huang,Q.Zheng, Regularization for ill-posed Cauchy problem associated with generators of analytic semigroups, J.Differ.Equ., 203(1)(2004), 38-54.

[16]刘继军,《不适定问题的正则化方法及应用》，北京：科学出版社， 2005。

[17]肖庭延，于慎根，王彦飞，《反问题的数值解法》，北京：科学出版社， 2003。