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摘 要

数论中著名的Goldbach猜想是至今一直未能解开的谜，为此我们讨论在n阶整数方阵环MnZ上类似的问题。本文首先引用了这样一个引理：整数方阵环上的任意方阵A都可以分解为一些整数方阵环上行列式为1的初等矩阵与一个对角矩阵的乘积，且对角矩阵对角线上的所有元素与原矩阵A的所有元素具有相同的最大公因子。之后对整数方阵环上的Goldbach问题即一个整数方阵能否分解成任意两个整数方阵之和问题的已有结论进行了归纳与总结，并结合引理进行了证明。在论文的最后，我们研究了对任意给定的整数以及任意的整数方阵A，是否存在三个整数方阵X,Y,Z使得A=X Y Z且X,Y,Z的行列式分别为给定的整数。

关键词：Goldbach问题 n×n整数方阵环 初等矩阵 不可约矩阵

The Problem that A Integral Square Matrix Decomposes to

Several Integral Square Matrices

ABSTRACT

Goldbach’s conjecture in number theory is a mystery that has not been able to be solved. For this reason, we discuss the similar problem in the ring M_nZ of all integral n by n matrices.In this paper，We first quote the lemma that any square matrix A on the ring of all integral matrices may be docomposed to the multiplication of some elementary matrices of determinant 1 and a diagonal matrix on the integral ring. Furthermore all diagonal elements of the diagonal matrix have the same maximal common factor as all elements of the matrix A. Afterwords, We induce and summarize the recent results of Goldbach’s problem in the ring of all integral matrices,namely the problem that if an integral matrix can be represented as the sum of two arbitrary square matrices.

According to the lemma, We prove some theorems.At last, We discuss this problem: For any integral and any integral matrix A,are there integal matrices X,Y,Z such that A=X Y Z and the determinant of X,Y and Z is the given integral.

Key words: Goldbach’s problem；The ring M_nZ of all integral n by n matrices；

elementary matrix；irreducible matrix

目录

摘要 I

ABSTRACT II

第一章 绪论 1

1.1 选题的含义 1

1.2 选题的背景 1

1.2.1 “哥德巴赫猜想”问题的提出、发展成果和展望 1

1.2.2 n阶整数矩阵环上的Goldbach问题 3

第二章 一些记号、定义和引理 4

2.1 记号 4

2.2 定义 4

2.2.1 初等矩阵 4

2.2.2 不可约矩阵 4

2.2.3 环 4

2.3 引理 5

第三章 A=X Y型的矩阵分解 8

第四章 A=X Y Z型的矩阵分解 16

参考文献 23

附 录 25

致 谢 26

第一章 绪论

1.1 选题的含义

整数矩阵是解决图论、组合论、控制论、信息论等问题的重要工具。整数方阵的分解问题形成一个与传统的矩阵论既有联系又有区别的新课题，越来越引起人们的兴趣。

1.2 选题的背景

1.2.1 “哥德巴赫猜想”问题的提出、发展成果和展望

1. “哥德巴赫猜想”问题的提出

1742年，德国数学家切爱斯坦哥德巴赫（Christian Goldbach 1690-1764）在和好友、瑞士大数学家莱郎哈德欧拉(Leonhard Euler 1707-1783)的通信中，提出两个关于整数和素数之间关系的推测：

（A）关于偶数的哥德巴赫猜想：每一个不小于6的偶数都可以表示成两个奇素数之和（如8=3 5）；

（B)关于奇数的哥德巴赫猜想：每一个不小于9的奇数都可以表示成三个奇素数之和（如15=3 5 7）。

这就是著名的“哥德巴赫猜想”。

欧拉虽然没有能够证明这两个猜想，但对它们的正确性是深信不疑的。它在1742年6月30日给哥德巴赫的一封信中写道：我认为这是一个肯定的定理，尽管我还不能证明出来。

2. “哥德巴赫猜想”问题的发展成果

从提出“哥德巴赫猜想”到十九世纪结束这近一百六十年中，虽然许多数学家对它进行了研究，但没有得到任何实质性的结果和提出任何有效的研究方法。这些研究大多是对猜想进行数值的验证，提出一些简单的关系式或一些新的推测。总之，数学家们没有想出如何着手来对这两个猜想进行哪怕是有条件的极初步的有意义的探讨。但古老的筛法，以及在此期间欧拉、高斯（ Gauss 1777-1855，德）、狄利克莱（Dirichlet 1805-1859,德）、黎曼(Riemann 1826-1866,德)、哈达玛(Hadamard 1865-1963，法)等在数论和函数论方面所取得的辉煌成就，为二十世纪的数学家们对猜想的研究提供了强有力的工具，奠定了不可或缺的坚实基础。

就在一些著名数学家作出悲观预测和感到无能为力的时候，他们没有想到，或者没有意识到，对“哥德巴赫猜想”的研究，正在开始从几个不同的方向为以后的证明取得了重大的突破。这就是：1920年前后，英国数学家哈代、李特五德（Littlewood 1855-1977）和印度数学家拉玛努扬(Ramanujan 1887-1920)所提出的“圆法”；挪威数学家布隆（ Brun 1885-?）所提出的“筛法”；以及1930年前后，前苏联数学家史尼雷尔曼（ шнирельман 1905-1938）所提出的“密率”。在不到50年的时间里，沿着这几个方向对“哥德巴赫猜想”的研究取得了十分惊人的丰硕成果，同时也有力推进了数论和其他一些数学分支的发展。

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