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线性发展方程
这章将学习一些涉及时间的线性偏微分方程。我们通常把这些偏微分方程叫做发展方程，因为这类问题的解会从最初给定的构造随着时间而发展。我们将运用能量方法学习一般二阶抛物型和双曲型方程，及某些特定的一阶双曲型方程组。利用在sect;7.3.3傅立叶变换以及在sect;7.4的半群知识，得到备选的方法。
7.1二阶抛物型方程
二阶抛物型微分方程是热方程的推广。我们将在这节学习适当定义下的弱解及其存在性、唯一性、光滑性和其他性质。
7.1.1定义
a.抛物型方程
在这章我们将假设是的有界开子集，然后像之前一样,对于固定的时间设
我们首先学习初边值问题
(1)
这里以及是给定的，是未知的，。记号对于每个时间表示一个二阶偏微分算子，具有散度形式
(2)
或者非散度形式
(3)
对于给定的系数，，().
定义.我们说一个偏微分算子是抛物型的，如果存在常数使得
(4)
对于所有，成立
附注.特别的，对于每个固定的，算子对于变量来说是一个椭圆算子。
一个明显的例子是;在这个例子中,同时偏微分方程变成了热方程。我们将看到实际上解决一般二阶抛物型偏微分方程方法在很多方面与热方程相似。在物理应用中，一般的二阶抛物型方程描述了某个量u的密度，比如说区域U中的化学浓度，随着时间的变化。如同前面均衡状态（即二阶椭圆型偏微分方程，见sect;6.1.1）所述，二阶项描述扩散。一阶项描述输运，零阶项描述生成和消耗。
b.弱解
模仿在sect;6.1.2对于椭圆型方程所展开的那样,我们认为首先这个例子中具有散度形式(2)，然后试图寻找一个合适的记号表示初边值问题的弱解(1)
现在假设
(5)
(6)
(7)
我们将一直假设
让我们现在用类似第6章介绍的记号来定义依赖时间的双线性形式
(8)
对于在上几乎处处成立。

定义弱解的动机.为了使接下来定义的弱解尽量合理，那我们先暂时假设是关于抛物型问题(1)的一个光滑解。现在转换观点，通过一个涉及u的映射

的定义如下

换句话说，我们将不把视为一个关于x和t的函数，而是一个关于t到关于x的函数空间上的一个映射u 。
这种观点将在下面的陈述中被解释清楚。
回到问题(1)，让我们类似地定义

接下来如果我们固定一个函数，我们可以将PDE以两边同乘边然后分部积分，可得
(9)
对于个，表示空间中的内积。
接下来观察
(10) 在上成立
这里且。因此(10)以及sect;5.9.1中的定义形式表明等式(10)的右边属于于Sobolev空间。满足

这个估计表明对于几乎处处的时间寻找一个弱解且有是合理;在(9)这个例子中第1项可以被重述为，表示空间和 的一个对偶配对。
所有这些考虑引出了接下来的。
定义.我们说函数
，满足
是关于抛物形初边值问题(1)的一个弱解,如果下列两个条件同时成立
(i)
对于每个在上几乎处处成立;而且
(ii)
附注.由sect;5.9.2中的定理3，我们发现，因此不等式(ii)有意义。

7.1.2 弱解的存在性
a.Galerkin 近似
我们试图去建立一个弱解，关于抛物型问题
(11)
通过首先构造关于(11)解的确定有限维近似，然后取极限。这种方法叫Galerkins方法。
更精确地说，假定函数是光滑的。
(12)是的一组正交基,
而且
(13)是的一组标准正交基.

(比如，我们可以取中为一个被合适标准化的特征函数的闭集且满足，见:sect;6.5.1)
现在固定一个正整数m，我们要寻找一个函数有如下形式:
(14)

我们希望挑选系数使得
(15)

而且
(16)
(如前所述，这里表示上的内积)
我们寻找一个函数具有形式(14),而且满足关于问题(11)在由张成有限维线性子空间上的“预期”(16)。

定理1.(近似解的构造)
对于每一个整数存在一个唯一具有形式(14)函数的且满足(15),(16)。
证明：假设具有形式(14)
首先由(13)可得
(17)
此外
(18)
此处。更进一步，记

然后(16)变成了常微分方程组
(19)
满足初始条件(15)。根据常微分方程解的存在性定理，存在唯一的绝对连续函数在上几乎处处满足(15)和(19)。且由(14)定义的在上几乎处处使(16)成立。


b.能量估计
我们现在建议将m趋于无穷，发现关于近似问题(15),(16)解的一个子序列收敛于问题(11)的弱解。为了达到这个目的，我们需要做一些估计。
定理2(能量估计).存在一个常数，仅仅依赖于和的系数，使得
(20)

对于成立
证明:将方程(16)两边同乘
再对求和，然后回顾(14)可以发现
(21)
在上几乎处处成立
我们在sect;6.2.2证明了存在常数
使得
(22)
对于任意成立.
更进一步
，而且在上几乎处处成立
随后有(21）在上几乎处处服从估计

(23)

是两个合适的常数

2.现在记
(24)
以及
(25)
然后(23)表明在上几乎处处成立。因此
Gronwall不等式的偏微分形式(sect;B.2)
服从估计
(26)

因为由(15)可以得到，从(24)-(26)可以得到估计

3.再次返回不等式(23)，从到积分并利用上述不等式得到

4.固定任意，满足，同时记，这里同时。因为函数列在上是正交的，。利用(16)可以推知
在上几乎处处成立
然后(14)表明

随后

因为，有

所以

c.存在性以及唯一性

接下来我们将使m趋于无穷，去构造初边值问题(11)的一个弱解，
定理3(弱解的存在性)问题(11)存在弱解
证明：1.根据能量估计式(20),我们看到数列在上是有界的，而且在上是有界的

然后存在一个子列sub;和一个函数满足,使得
(27)在上弱收敛于

在上弱收敛于(见sect;D.4以及问题4)

2.接下来固定一个整数N，然后选择一个函数，具有形式
(28)
这里是一组给定的光滑函数。我们选择，(16)两边同乘以，先对求和，再对t求积分，可得
(29)

设然后回顾(27)，可以发现，取弱极限时
(30)

这个等式成立对于所有的成立，因为具有形式(28)函数在这个空间里是稠密的。特别的，
(31)
对于任意在上几乎处处成立。由sect;5.9.2中的定理3我们另外还发现
3.为了证明，我们首先将(30)改写为

(32)
对于任意成立且满足。类似的，从(29)我们推断出
(33)
设同时再次利用(27），因为在上，可以得到
(34)
由于是任意的，比较(32)和(34)，我们得到。
定理4(弱解的唯一性)(11)的弱解是唯一的
证明.显然当有唯一弱解
(35)
为了证明这个，在恒等式(31)中设()然后观察可发现，用sect;5.9.2中的定理3,
(36)
因为

由Gronwalls不等式和(36)可知(35)是成立的。

7.1.3 正则性
在这一节我们将讨论关于二阶抛物型方程的初边值问题弱解的正则性。我们的最终目标是证明u是光滑的，假设方程的系数,区域的边界，等等都是光滑的，接下来的陈述将与sect;6.3的类似。
动机:估计的形式推导
(i)为了得到一些直观可能是有效的正则性，让我们暂时假设是热方程初边值问题光滑解
(37)
同时假设当|x|→infin;时，u趋于0的速度足够快，从而可证明接下来的计算。我们将在上计算
(38)=

=

=

现在，然后
=
进一步地，由sect;6.3中证明的
=
我们把上述两个等式代入(38)中并对时间t积分，得到
(39)
因此可以发现我们能根据在上的范数和在以及在上的范数估计在上的范数和,(ii)接下来区分考虑时间的并设。然后
(40)
这里，。乘以，分部积分且援引Gronwalls不等式,我们得到。
(41)
但是根据sect;5.9.2中定理2的(iii)
(42)
更进一步，记，
我们可以像在sect;6.3节那样地有
(43)
结合(41)-(43)我们可以得出估计
(44)
对于某个确定的常数C成立。
之前的计算结果表明，我们已经估计的(39)和(44)与二阶抛物型偏微分方程的弱解相一致。但我们在sect;7.1.2构造的(11)的弱解并非足够光滑可去验证之前的计算，因此这些计算不能算是严格的证明，。
我们现在利用伽辽金近似来代替计算。为了简化描述，我们随后假设是一个由中的特征函数组成的闭集,而且是一个有界开集，满足是光滑的。进一步我们假设
(45)

定理5(提高正则性)
(i)假设

同时假设，，是下列问题弱解关于

然后实际上
，
从而我们有了估计
(46)
常数依赖仅仅依赖于，以及的系数。
(ii)如果另外还有
，
那么，，

满足估计
(47)
附注.定理5的(i),(ii)是估计(39),(44)的精确解释(关于上的热方程)

证明.1.固定,我们把sect;7.1.2中的等式(16)两边乘以，并对求和，可以发现

在上几乎处处成立。现在

因为而且这些系数不依赖于t
我们得到，对于对称双线性形式

更进一步，
，
对任意成立
2.结合上述不等式，我们得出

取然后积分，我们发现根据在sect;7.1.2中的定理2中我们估计的，可得

。又由对每一个都成立，我们发现
(48)
取极限我们推断出，

(和和有同样的上界，见问题5)
3.特别的，我们已经验证了下式在的定义域上几乎处处成立

对于任意成立。这个等式我们改写为

其中。因为在上几乎处处成立，我们从sect;6.3.2节中椭圆型正则性定理4可以得出对几乎处处成立的，利用估计
(49)
积分并利用步骤2中的估计我们完成了(1)的证明。
4.接下来的目标是建立有更高的正则性弱解。所以现在假设，.固定并区别于sect;7.1.2中考虑t的方程(16)。
依靠(45)我们得到
(50)
其中，将等式(50)两边乘以，然后按求和

利用Gronwalls 不等式，我们得出
(51)
我们在最后一个不等式利用了(16)。
5.我们必须对(51)的最后一项做估计。记得我们曾经取为一个由上的光滑特征函数组成的闭集。特别的，在上有。因此

因为而且
我们有

因此。所以(51)表明
(52)
6.现在

让表示上的k阶特征函数。将上面的式子乘以，然后按求和，我们可以推断对于下式成立
(53)
因为在上成立，我们发现。接下来我们援引不等式
(54)
对于常数成立.(见问题8，或者证明后面的附注

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