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Shao-Kai Luo · Yan-Li Xu

Fractional Birkhoffian mechanics

Received: 16 June 2014 / Revised: 17 July 2014

copy; Springer-Verlag Wien 2014

摘要：在这篇论文中，我们提出了一种新的分数阶动力学理论，即Birkhoffian动力学分数阶导数系统（分数阶Birkhoffian力学），它给出了一种求解的一般方法构造实际问题的分数阶动力学模型。利用组合分数的定义导数，我们给出了一个统一的分数Pfaff作用和一个统一的分数Pfaff-Birkhoff原理，以及在分数阶导数的不同定义下，给出了四种分数阶Pfaff-Birkhoff原理。然后，利用分数Pfaff-Birkhoff原理，建立了一系列分数Birkhoffian函数并构造了自治分数阶Birkhoffian方程的张量表示。进一步，我们研究了分数比霍夫系统给出了分数哈密顿系统和分数拉格朗日系统的变换条件。作为分数阶Birkhoffian方法的应用，我们构造了五类分数阶Birkhoffian方法动力学模型，包括分数Lotka生化振子模型，分数Whittaker模型，分数Hojman-Urrutia模型，分数Heacute;non-Heiles模型和分数Emden模型模型。

1、简介

随着科学技术的发展，哈密顿动力系统已经发挥了越来越重要的作用不仅在现代力学中，而且在物理学、数学、工程科学、非线性科学中都有重要的作用科学、天体力学和社会科学[1-11]。1927年，美国数学家伯克霍夫对哈密顿系统的一种推广，提出了一种新的积分变分原理和一种新的形式他名著中的运动方程[12]。1978年，美国物理学家桑蒂利进行了初选对Birkhoffian系统进行了研究，得到了一些结果。除了伽利略的相对论方面，桑蒂利研究了Birkhoffian方程、Birkhoffian方程的变换理论等在[13,14]上。1992年，梅和他的同事们建立了伯克霍夫动力学的理论框架[15–17]. 伯克霍夫动力学比哈密顿动力学更为普遍。哈密顿动力学Birkhoffian动力学在许多科学和工程领域都有着广泛的应用在这些领域也发挥了更重要的作用，并已应用于非线性动力系统[17–21]，相对论系统[22]、转动相对论系统[23,24]和量子系统[25]等。

分数阶动力系统不仅能更真实地揭示自然现象，而且更接近于自然现象工程实践。在20世纪70年代末，曼德布罗特[26]发现了大量的分数维的例子存在于自然界。从此，分数阶动力学的研究成为一个热门话题，在分数拉格朗日力学、分数哈密顿力学、分数非完整系统动力学和分数广义哈密顿力学等理论和应用方面取得了广泛的发展力学[27–43]，及其应用[44–50]。为了更好的解决分数维问题在科学和工程中，有必要提出Birkhoffian系统的分数阶动力学理论。

本文提出了一种新的分数阶动力学理论，即分数阶Birkhoffian力学给出了一种构造实际问题分数阶动力学模型的通用方法科学与工程。

第2节简要概述了分数阶导数及其性质。

第3节提出了统一的分数Pfaff-Birkhoff原理，给出了四种分数Pfaff-Birkhoff原理分数阶导数不同定义下的Pfaff-Birkhoff原理。

第4节.基于分数阶的不同定义，建立了分数阶birkhoff方程分别是导数。

第五节探讨自治分数阶Birkhoffian方程的张量表示。

第六节讨论了分数阶birkhoff系统与分数阶哈密顿量之间的关系拉格朗日系统给出了拉格朗日变换的条件。

在应用程序A–E中。7-11，利用分数阶Birkhoffian方法，我们构造了五个新的类分数阶动力学模型，其中包括分数阶Lotka生化振子模型，分数阶Lotka生化振子模型，Whittaker模型，分数Hojman–Urrutia模型，分数Heacute;non–Heiles模型和Emden模型。

第12节包含结论。

2、分数阶导数及其性质

我们介绍了Riemann-Liouville、Caputo、Riesz-Riemann-Liouville和Riesz-Caputo导数，因为它们与分数阶Birkhoffian方程有关。假设函数f（xi;）是连续的且在每个有限区间（a，t）和每个有限区间（t，b）中可积。左边和右边的Riemann–Liouville导数是

(1)

(2)

左边和右边的 Caputo 导数是

(3)

(4)

左边和右边的 Riesz–Riemann–Liouville and the Riesz–Caputo导数是

(5)

(6)

这里，D是传统的导数算子，alpha;是分数阶导数，使得nminus;1le;alpha;lt;n。当alpha;是整数时，通常使用导数的整数定义。注意Riemann-Liouville导数尽管常数的卡普托导数为零，对于alpha;=1，左导数为零，但常数的卡普托导数不为零是右导数的负数。

当我们要处理具有时间箭头的动态系统时，我们需要考虑算子和为了追踪动态的过去和未来，有必要考虑不同数量的信息来自过去和未来。组合Riemann-Liouville的定义包含左、右分式导数的分式算子是[33]

(7)

这里 gamma; isin; [0,1],gamma; 表示左右分数阶导数的分配量，可以根据需要分配。根据试（7），我们得到

(8)

(9)

(10)

方程式（7）也适用于Caputo导数：

(11)

根据式（11），我们得到

(12)

(13)

(14)

从等式（10）和（14），我们可以知道组合的黎曼-刘维尔导数可以简化为Riesz–Riemann–Liouville导数。类似地，组合的Caputo导数可以简化为Riesz–Caputo的推导。

在接下来的讨论中，我们将需要部分分数积分的公式。这些公式是以[32]形式给出

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

3、统一分数Pfaff–Birkhoff原理

Pfaff–Birkhoff原理是构造Birkhoffian方程的重要基础[13–15]。在这个第二节，我们定义了一个统一的分数Pfaff作用，并给出了一个统一的分数Pfaff-Birkhoff原理。然后，基于这种统一的分数Pfaff-Birkhoff原理，给出了四种分数Pfaff-Birkhoff原理分别给出了分数阶导数的不同定义。

假设机械系统的局部坐标由Birkhoffian变量决定（v=1，2，hellip;，2n）。Birkhoffian函数是B（t，a），Birkhoffian函数是（t，a）。我们定义了一个统一的分数Pfaff作用

(21)

在同时变化的条件下，下列方程

(22)

情况A：基于Riemann–Liouville导数（1）和（2）的定义，使用公式（7），Pfaff行动（21）更改为

(23)

统一分数Pfaff-Birkhoff原理（22）可以写成

(24)

方程（24）被称为分数Pfaff-Birkhoff原理，用组合Riemann-Liouville定义导数

情况B：根据Riesz–Riemann–Liouville导数（5）的定义，Pfaff作用（21）变为

(25)

统一分数Pfaff-Birkhoff原理（22）可以写成

(26)

方程（26）称为分数Pfaff-Birkhoff原理，用Riesz-Riemann-Liouville导数定义。

情况C：根据卡普托导数（3）和（4）的定义，使用公式（11），Pfaff作用（21）更改为

(27)

统一分数Pfaff-Birkhoff原理（22）可以写成

(28)

方程（28）称为分数Pfaff-Birkhoff原理，定义为组合Caputo导数。

情况D：根据Riesz–Caputo导数（6）的定义，Pfaff作用（21）变为

(29)

统一分数Pfaff-Birkhoff原理（22）可以写成

(30)

方程（30）被称为分数Pfaff-Birkhoff原理，用Riesz-Caputo导数定义。

当alpha;，beta;→1时，我们有

(31)

(32)

4、基于分数阶导数不同定义的分数阶Birkhoffian方程

在分数阶导数的不同定义下，利用上述不同的分数Pfaff–Birkhoff根据分式积分原理，我们可以选择相应的分式积分公式，来构造分式积分Birkhoffian方程。

4.1分数阶Birkhoffian方程，用组合Riemann–Liouville导数定义展开式（24），我们得到

(33)

当0lt;alpha;,beta;lt;1，用方程（15）和（16），我们有

(34)

(35)

使用方程（34）和（35），我们可以将等式（33）表示为

(36)

根据积分区间[a，b]的任意性，我们得到

(37)

方程式（37）称为分数Pfaff–Birkhoff–Drsquo;用组合Riemann– Liouville定义的阿朗贝尔原理导数。

根据的独立性，我们得到了

(38)

方程（38）被称为分数Birkhoffian方程，用组合Riemann–Liouville方程定义导数。

当=1时，公式（38）简化为左分数阶Birkhoff方程，用Riemann– Liouville导数

(39)

当Birkhoffian的分数项定义=0时，则简化为（38）Riemann– Liouville导数

(40)

注意到Riemann– Liouville导数和Caputo导数都自动出现在等式中(37)–（40）即使泛函只包含Riemann-Liouville导数。如果Birkhoff函数不包括时间t，则（38）–（40）减少为自主分数用Riemann-Liouville导数定义的Birkhoffian方程。

4.2用Riesz–Riemann–Liouville导数定义的分数阶Birkhoffian方程展开式（26），我们得到

(41)

当0lt;alpha;lt;1时，用公式（19），我们有

(42)

用公式（41）、（42）可以表示为

(43)

根据积分区间[a，b]的任意性，我们得到了

(44)

方程式（44）称为分数Pfaff–Birkhoff–Drsquo;根据Riesz–Riemann定义的Alembert原理刘维尔导数。

根据的独立性，我们得到

(45)

方程（45）被称为分数比尔霍夫方程，用Riesz–Riemann–Liouville定义导数。

请注意，Riesz–R

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