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变换直线检测的变体

论文主要涉及在一张数码图片中，检测每线分量，一组边缘点足够接近线的问题。为此，基于表决双平面的 变换，被广泛应用。然而，关于计算复杂度和直线性成分的检测能力之间的关系，已经有一些理论研究。在本文中，关于每个直线元素所包含的数字图像，我们提出了两种算法。一种是基于一个新的转变，命名为双变换定义的点和线之间的距离，在密集数字图像情况下有效。用数字理论的概念，我们可以证明，该算法在O（）的时间内找到所有的行成分，图像的大小是O（）.另一种利用平面扫描技术在计算几何中的效率，当边缘的线密度较低时有效。此外，我们提出了一个有效的近似算法，它可以检测到至少 100%的任何线路组件，并显示其计算复杂度取决于的值。选择 = 0.5，

例如，该算法的时间复杂度从减少到。

在实际应用中，它有时需要检测的宽度大于1。我们也

最近的一个算法，用于检测在相同的计算复杂度相同的粗线条的指定宽度。

关键词：近似算法；计算几何；数字线检测；Farey序列；

将双变换变换；

1、简介

最广泛使用的检测或提取数字图像中直线的Hough变换组件的方法是[ 4 ，2]中，图像中的每个边缘点转化为正弦曲线，然后列举了很多这样的曲线的交点，用通常的方法来实现这项工作得到资助科学研究教育，科学和日本文化部分资助.

*相应的作者。电子邮件：asano@amlab.osakac.ac.jp；电话： 81-720-24-1131；传真： 81-720-24-0014。

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（95）00023-2 SSDI 0925-7721

这个想法有效地是将变换后的平面（或参数空间）划分成小区域桶和投票的每个桶通过每个曲线，而不是寻找每一个路口精确。为了提高线检测的能力，更精细的分区是必需的，导致增加在计算时间和内存需求。因此，我们要慎重选择参数分区。然而，有非常少的理论研究的最佳分区（见由松山和小清水[ 6 ]调查报告）。

对于缩短计算时间的Hough变换，已经做 了一些尝试。然而，没有必要的改进，它是实现的，只有牺牲的能力的线检测。这意味着计算时间和能力的在线检测之间的权衡。没有理论的尝试已经取得了澄清这样的权衡。

在本文中，我们提出了2种不同的算法，可以检测到的每一行组件的数字图像的大小的一个是有效的密集的数字图像和运行在的时间。随着数字理论的帮助，我们可以表明，任何算法来检测所有的线组件密集图像需要（N4）时间在最坏情况下。因此，该算法是最佳的计算时间,在一个常数因子。

对于算法，我们引入了一个新的转换，称为双变换的基础上的从一个点到一条线的距离。一个点（x，x）到一个直线y=ux 的距离是||，如果 或者，方程式v=y-ux,其中|u|le;1，可以看做从一个点（x，y）变换在X -Y平面成线V = y -u x，|u|le;1在u-v的平面。另一种算法是有效的稀疏的数字图像。它的基本思想是一个平面扫描计算几何中常用的技术。此外，为了在理论上建立一个计算时间和能力之间的权衡直线检测，介绍了一个新的概念，alpha;-灵敏度。假设我们需要报告含有至少t边缘点的所有行组件。一种算法被称为alpha;-灵敏度,如果每个这种设置的边缘点的设置有一定的输出prsquo;的算法，例如

并且

我们提出了一个alpha;-灵敏度算法，并证明了其计算复杂度取决于

值的alpha;。选择alpha; = 0.5，例如，该算法的时间复杂度从低减少到

总结结果，整数性质实现效率起着重要的作用，效率的算法密集的数字图像和稀疏的组合分析。

在实际应用中，它有时需要检测的宽度大于1。我们还提出了一种算法，用于检测在相同的计算中的指定宽度的大胆的行复杂度。我们首先描述了一种基于Hough变换[ 4，2 ]标准算法。在大小的数字画像中，让G是一组晶格点。也就是：

T. Asano, N. Katoh / 计算几何6 (I996) 2M-252

Fig.2一种基于桶算法线元素检测技术 (a)桶曲线 （B）对应的边缘点集

我们定义g(x,y)= 1时，有一个点（以下称为边缘点）(x,y)在数字图像和g(x,y)= 0，否则。在下面，我们考虑的问题，检测数字线作为一组的边缘点，为简单起见，在本文中，我们假设一个数字图像的正方形形状。

设P是从原点到线角theta; pi;/ 2的距离，线角通过边缘点（见图1）。然后，用下面的公式表示

这可以看成是一个转换，把X-Y平面上的点转换成p-theta;平面上曲线，当p-theta;平面由确定的曲线in与由确定的曲线相交于点，这条线与这两条曲线相交，可以用以前方程表示：

在一般情况下，如果m等曲线相交的点，其对应的点在于线（2）。在p-theta;平面找到这样的路口，p-theta;的平面划分成小平等地区（桶）中的标准算法基于Hough变换。然后，跟随曲线，我们把票在每个水桶的曲线通过。图2所示一个桶中心线相交的曲线及其对应的一组边缘点原始平面。最后，我们列举了所有桶有更多的选票比预定的门槛并报告对应于这些桶的线。

程序：

Initialize each element of the array count[.][.] to zero;

f o r x = 0 t o N - I

for V -- 0 to N - 1

if there is an edge point at (x, v)

then

for i = 1 to Mo

calculate ;

increment the value of count[i][q[Oi,p]];

For each (Oi,pj) such that count[i][j] ~gt; t report its corresponding line

x cos Oi y sin Oi = pj.

在上面的算法，我们必须提前确定（1）序列指定线的角度进行检测，（2）一个函数Q（O，P）对P值，及（3）阈值T确定一组边缘点给数字线的最小基数。序列角度与时间复杂度和直线检测能力有关。量化函数的问题也是很重要的，因为它决定了数组的大小。然而，有已经很少有关于这些参数的最优性的理论研究。和田等人。[ 8 ]提出使用函数.

作为量化函数。这个函数可能是合理的实际应用，但它会导致没有必要的改善。

备注1。一个重要的观察是，没有任何的保证，因为它创建了一个边界之间的边界相邻的桶的行检测的任何量化。想象一下，在这2条线穿过一个桶边界的情况下，这2条线在边界线下方。这种方法将错过一行组成的这样的边缘点。

至于如何选择线的角度，根据作者的知识，没有合理的考虑。这个问题将在下一节中详细研究。

2、线路探测能力评价

已被认为是一个数字图像中的直线分量的一些算法。在这一节中，我们制定了如何评估这种算法的在线检测能力。

在我们目前使用的术语数字线路没有任何正式的定义。虽然可以有一些不同的方式来定义数字线，本文采用以下定义。下面的讨论似乎是对未成年人修改的定义的宽容。

给定一个点P在平面直线L，点P和y = ax b线之间的L l-distance定义为P在线上任意点之间的直线距离之间的最小。因此，该

之间的距离的点和线之间的垂直和水平之间的距离是最小的（即，垂直和水平段的长度，分别从对升）。

对于一组边缘点和一个斜坡，在斜坡上的垂直和水平的宽度，同样被定义为垂直和水平距离的最大差异，分别为，

从点到线P y = UX（见图3）。对于一个斜坡，你定义为一个较小的垂直和水平宽度的宽度。

这里要注意的是，这是较小的，垂直距离或水平距离从一个点到一条线，

取决于线路的坡度。也就是说，如果坡度介于1和1之间，垂直距离较短，而水平距离则更短。

正式地，我们定义了一个有符号的版本，我不在一个点（times;）和一个线之间定义一个

[ y - a x - b Ilt;~ I x - ( y - b ) / a ] ,

在下文中，我们使用术语“LL距离之间的点和线来表示它签署版本除非发生了混乱。

一组点在一个斜坡的垂直宽度。

这些定义，给定一个线y＝UXdivide;V相应G（u，v）格点被定义为所有的格点的距离的线将是0.5和0.5之间。更确切地说，我们定义了一套

一组对应于某一行的边缘点的一个集合，称为数字线或直线分量。对于实用的目的，我们感兴趣的是线组件的大小是大于或等于一个给定的阈值t这样的组件被称为一个合格的组件。在下面，一个符合条件的行组件被简单地称为线路组件，除非发生混乱。在本文中，我们没有找到一个为一个给定的行设置的边缘点，但找到一组边缘点，对应于一些行和然后计算一个符合该集合的线方程。与上面的定义，我们有下面的引理。

引理1 边缘点的一个集合点是一个直线分量，如果只有一个，我们将描述一个在线检测能力的标准

算法。在本文中，我们将集中在一个类的算法，检测合格的线组件（满足条件的引理1），并报告相关的值，如方程

直线的直线。

关于线的检测能力，下面的引理可能是明显的。

引理2 基于Hough变换算法的标准算法并不总是输出所有组件。

证明：至于作技术的使用，它可能会错过由于在注1提到的原因，一些数字线。[ ]

定义1 一种算法是对0个值的敏感度为1，如果为任意的直线分量在给定的数字图像的大小，它可以检测到一个线组件，满足

在下一节中，我们将提出一个算法，可以检测到每一行的组成部分，在一个给定的数字图像。该算法是基于一个新的变换的基础上的距离，这是在原则上相同的对偶变换。

3、双变换

在这和接下来的章节中，我们只考虑这些线的斜率是0和1，因此，将距离是由垂直距离确定。可能很容易看到其他情况下，可以通过类似的方式，例如，通过交换x和y坐标的。

计算几何图中常用的对偶变换（1）为直线y = ax b和y = cx D线到一个点（C，D）。众所周知，改造保留了点和线之间的垂直关系。英特线一点和直线一点到线通过两点。因此，如果我们转换边缘p枚举所有的交叉点，在没有或更多的线相交，我们有一个集合对应于那些交叉点。然而，这种方法有一个严重的不能限制在交叉口存在的范围，换句话说，路口在很宽的范围内。这意味着“投票”的方法，这是在对Hough变换是无效的。这就是为什么最初的想法对偶变换被认为是“不切实际的”[ 2 ]。通知何在方程（1）允许我们限制搜索空间小

应用和（更准确地说是个搜索空间的紧凑性被认为是实际应用的关键变换。但是，如果我们在线检测能力，算法转换不是最好的。在这一节中我们定义一个算法设计部分。

本节所要介绍的算法是基于转型研究对偶变换。在Hough变换在计算（垂直）起源于一条线穿过一个边缘点（xi，yi）的角度为计算距离。因此，我们将调用它将双变换。因为我们检测线组件，其对应的线是0个之间的斜坡V从边缘点（xi，yi），然后，我们按其第五值排序边缘点。如果两点和,有相同的v值，也就是说，如果我们有

然后，我们可以看到，线y＝UX V通过这两点。这是我观察：给定一组边缘点，计算其相应的值他们找到最大的边缘点的子集，其值是不同的，在大多数其大小大于或等于给定的阈值是数字线路因此，我们有以下算法：

Algorithm 2. Algorithm based on Ll-dual transform

Array:

(1) bit 9IN]IN]; /* digital image , /

(2) struct point{int x, y;} p[n]; / , an array to store coordinates of edge points , /

(3) double v[n]; /* an array to store v values , /

(4) int a[n]; /* an array to store labels of edge points */

/ , n is the total number of edge points */

Parameters to be predetermined:

Procedure:

Store all the coordinates (x, y) such that 9[x][y] = 1 into the structured array p[.]

(concretely, if (x, y) is the ith edge point then we set p[i].x = x, p[i].y = y).

for i = 1 to n ~r[i] = i; /* Initialization of the array ~r[.] , /

for i = 1 to M /* for each slope , /

for j = l to n /* for each edge point , /

comp

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