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非线性输入的基于忆阻器的蔡氏系统的鲁棒自适应状态反馈滑模控制

，，，

南京信息工程大学（中国，江苏，南京，210044）数学与统计学院

b南京信息工程大学（中国，江苏，南京，210044）信息与控制学院

c东南大学（中国，南京，210096）“复杂工程系统测量与控制”教育部重点实验室

*通讯作者

文章信息

关键词：滑模控制（SMC）、忆阻器、蔡氏电路、非线性输入、稳定性

摘要

本文研究了一类不确定的基于忆阻器的蔡氏电路系统的稳定化状态反馈。通过对忆阻器的特点的结合，建立了具有非线性输入的不确定忆阻蔡氏电路系统模型。在假定输入的非线性增益衰减参数为未知的前提下，提出了鲁棒自适应滑模控制(SMC)方案，以确保不确定忆阻蔡氏电路的系统轨迹可以被推入滑动面，并随后滑入原点。最后，通过仿真验证了所提方法的有效性。

1. 介绍

根据学到的知识，我们知道建立一个电路系统有三个基本的两个终端元素，即电阻、电容和电感。现在除了它们之外,忆阻器一直被视为第四个理想电路[1]的基本元素。自从2008年它在《自然》杂志上首次登台，考虑到其大量的应用前景[2]，如超高密度非易失性的计算机内存和神经突触,看到[3]，它迅速引起了全世界的关注,。在[4]中，介绍了单忆阻器的特性，以及其他几种电路、存储器电容、记忆存储电感器和存储电容的电感器。随后，就像在[5 6]这样的混沌系统的同步问题一样，在[7 8]中讨论了自适应同步的混沌系统。在[9]中，针对一类基于分数阶的基于存储单元的神经网络，形成了投影同步问题。在[10]中，作者推导出了分数阶的基于忆阻器的蔡氏系统的数值解，并对该系统的动力学行为和稳定性进行了深入的研究。在[11]中，对于具有时变延迟的记忆性递归神经网络，作者讨论了可靠的稳定问题。在[12]中，研究了一个基于忆阻器的蔡氏系统的基于事件的SMC设计。此外，对于一般的混沌系统，新的模糊采样控制[13]，滑动模式同步控制[14,15]都分别得到了很好的研究。

另一方面，植物非线性输入通常发生在实际工程应用中，例如机械连接，压电转换器、电动伺服电机。植物非线性输入会降低系统性能，在某些严重情况下会导致闭环系统的不稳定。为此，存在许多完全广泛的重新搜索，用于控制输入非线性的控制技术。在[16 - 18]中，研究了分散滑模可变结构控制问题。此外，还讨论了一类具有饱和和死区非线性输入的非线性系统的自适应神经控制[19]。在[20,21]中提出了输入非线性系统的跟踪控制问题。在[22,23]中讨论了受驱动器非线性影响的随机系统的稳定性问题。同时，研究了混沌系统的非线性输入问题，如在[ 24,25 ]中。据我们所知，对于具有非线性输入的基于忆阻器的蔡氏电路的SMC设计，目前还没有任何研究成果，尤其是在增益衰减参数是未知的情况下。

在本研究中，我们将考虑一类非线性输入的不确定的基于忆阻器的蔡氏电路系统的稳定性问题。首先，利用忆阻器的非线性特性建立了基于忆阻器的蔡氏电路系统的组合数学模型。其次，应用自适应技术来估计非线性输入的未知的增益衰减参数。此外，还将鲁棒自适应控制技术引入到基于忆阻器的蔡氏电路系统的SMC中，确保了所需滑动流形的可达性。

本文的其余部分组织如下。第2节给出了忆阻蔡氏电路系统的系统描述，以及系统的一些基本假设。第三部分介绍了基于忆阻器的蔡氏电路系统的鲁棒自适应滑模状态反馈控制设计。第4节给出了一个实例的仿真结果，说明了所提方法的有效性，最后在第5节中给出了本文的结论。。

在本文中，使用了以下符号：表示n维欧氏空间；表示矩阵A的转置；表示适当维数的单位矩阵。符号表示向量的标准欧几里德范数或矩阵的诱导范数。

1. 忆阻蔡氏电路

忆阻器被称为第四“被动”电子装置，由非线性关系描述

(1)

两个终端设备的电压和电流I之间，其中两个非线性函数和通常被称为忆阻器和忆阻值，分别定义为

(2)

和

(3)

Itoh和蔡少棠最初提出的基于忆阻器的特征在于单调递增和分段线性非线性[3]

(4)

和

(5)

在参数a，b，c，d都是正的常数。因此，这时不难看到

(6)

和

(7)

在图1中给出了一个具有单调递增和分段线性忆阻的蔡氏电路。根据基尔霍夫电路定律，它的动力学可以写成下列方程

(8)

图1.磁通量控制的忆阻蔡氏电路系统[10]

此处取决于流量。表示。我们可以得到

(9)

这里，.

基于忆阻器的关系[6]，该系统可以改写为：

(10)

这里

(11)

(12)

令

(13)

和

(14)

该系统可以进一步表示为

(15)

这里以及。

考虑到电感、电容、电阻和植物输入非线性等因素的不确定性，我们提出了一种不确定的具有非线性输入特性的不确定忆阻电路的动力学模型：

(16)

这里为非线性控制输入。不确定性条件和分别是模型的不确定性和系统外部干扰。假设下列假设是有效的。

假设1：不确定性满足。和是已知的具有合适维度的矩阵。

假设2：不确定项满足其中和是正的常数。

假设3：本文考虑的的输入非线性满足

(17)

也就是说，控制力矩受死区值和的约束。和是非线性函数，其中

(18)

(19)

不失一般性，假设增益衰减参数和死区临界值。可以进一步表示为

(20)

备注1：通常，增益衰减参数的上下界先前已知，然后利用鲁棒控制技术来处理它，见[ 20,21,23,24,26 ]。本文将其推广到未知情形，并采用自适应控制方法成功地解决了这一问题。

1. 忆阻蔡氏电路的鲁棒自适应滑模控制

不失一般性，我们假设以下线性切换面

(21)

其中满足，目的是利用例如在[27-30]中提到的一些方法来保证滑动运动的存在。不失一般性，为了方便起见，我们假设接下来。

当基于忆阻器的蔡氏电路系统的控制输入是线性的，即，下面的SMC定律

(22)

其中，为确保滑动面和随后的可达性而设计。然后，从趋近律：

(23)

的建立开始，系统状态渐进地滑动到原点。

本文将考虑两种情况:一是假设2中的参数和是先前已知的；另一种是控制器设计时未知的。

3.1.情况A：和是已知的

在本小节中，我们假设在假设2中关于外部扰动和模型不确定性的参数和是已知的，并且能够用于控制器设计。在这种情况下，设计了以下自适应SMC定律。

(24)

其中,。产生为满足后续动力学而设计的自适应律的解。

(25)

其中初始值为。

引理1：对于控制输入满足(20)中所示的非线性关系，当控制律设计为（24）时，它保证了以下不等式的成立：

(26)

证明：很明显，当时，上述不等式(26)成立。

当时，基于(24)中设计的控制器和，我们有

(27)

因此，我们可以看到

注意到当时，和当时，。这意味着当时，控制系统设计(24)。因此我们有

(28)

注意到

(29)

因此，我们可以检查

(30)

很容易得到

(31)

引理1的证明已经完成。

定理1：考虑不确定性的忆阻蔡氏电路系统（16）服从假设1–3，如果控制法设计如(24)并且自适应定律如(25)，那么系统(16)的运动轨迹可以被逐渐驱动到滑动表面。

证明：设候选李雅普诺夫函数为。其中。系统(16)中李雅普诺夫函数的时间导数是

(32)

注意到。我们可以看到

(33)

由于和引理1 , 我们有

(34)

由于在(25)中对的自适应律的设计，并且注意到。我们可以得到

(35)

在(35)最后一行中使用

将以上公式(35)的两端从0到t综合起来

(36)

我们可以很容易地得到

(37)

令，对(37)两侧求极限

(38)

根据Barbalat 引理（细节请参阅[ 31 ]），我们可以看到

(39)

因为，，以及函数的性质，因此我们有。

因此，这一证明是完全成立的。

3.2.情形B：和是未知的

在这一节中，我们假设和是未知的，因此，在SMC设计中使用它们的估计值而不是它们自己。

在这种情况下，设计了以下自适应SMC定律

(40)

其中。,和作为设计自适应律的解生成。

(41)

(42)

(43)

其中初始值，。

类似于引理1，引理2如下所示。

引理2：对于控制输入满足(20)中所示的不匹配关系，(40)中的控制律保证不等式的成立：

(44)

引理2的证明同引理1的证明十分相似，即在引理1的证明中直接将和更换为和，由于空间限制，这里不再赘述。

本节的主要结果概述如下：

定理2：考虑到不确定性的忆阻蔡氏电路系统(16)服从于假设2-3，如果控制律如(40)且自适应控制律如(41)-(43)，然后系统(16)的轨迹可以逐渐被驱动到滑动表面。

证明：设候选李雅普诺夫函数为，其中。系统（16）的时间导数是

(45)

注意到。通过结合自适应律(42)和(43)可以看出这一点。

(46)

由于和引理2，我们有

(47)

图2.忆阻蔡氏电路的混沌吸引子

图3.在的情况下，应用控制律(22)的忆阻蔡氏电路的系统状态的响应曲线、转换函数和控制输入

由于(41)中为设计的自适应定律，并注意到。我们可以得到

(48)

图4.应用控制律(22)的非线性输入的忆阻蔡氏电路的系统状态响应曲线、转换函数和控制输入

在(48)最后一行中代入,

将以上公式（48）的两端从0到t综合起来

(49)

我们可以很容易得到

(50)

令，对(50)两侧求极限

(51)

根据Barbalat 引理（细节请参阅[31]），我们可以看到

(52)

因为，，且由于函数，和的性质。因此我们有。因此，这一证明是完全成立的。

图5.应用控制律(24)和自适应定律(25)的非线性输入忆阻蔡氏电路的系统状态响应曲线,转换函数、控制输入和对的估计值

1. 仿真结果

为了说明该系统的鲁棒自适应SMC设计的有效性，选择一个实例，忆阻蔡氏电路的系统参数如下：

因此，我们有

此外，忆阻蔡氏电路(16)还使用到以下数据：

系统仿真的初始值为。

图2给出了蔡氏电路系统自由运动的系统仿真结果。很明显，它是一个混沌吸引子。

下面的开关矢量可以选择确保系统轨道保持在滑动面上，整个动力学结果将逐渐滑向原点。

当忆阻蔡氏电路系统没有发生非线性输入时，采用线性控制法(22)和。仿真结果显示在图三中。可以看出，线性控制法可以很好的稳定不确定忆阻蔡氏路系统。然而，线性控制法(22)不能保证发生非线性输入的忆阻蔡氏电路系统的稳定性。见图4，。

为了验证所提出的控制设计方法的有效性，我们考虑了两种情况：一是参数和是先前已知的；另一种情况是，和是未知的常数。对于第一种情况，我们使用了下列参数：初始值。对于第二种情况，其余参数确定为：初始值。从图5和图6的仿真结果可以看出，本文提出的控制设计方法可以很好地保证系统状态到达滑动面，然后在模型不确定、输入非线性和外部扰动的情况下渐近地

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