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基于高斯函数的高效内核诱导FCM的图像数值分析

摘要：在本文中，我们提出了新的基于高斯函数的内核诱导FCM模型对医学图像进行分割。这是因为传统的FCM模型没有考虑空间信息使得模型对噪声敏感，因此我们提出这个模型。这个模型通过先验概率将空间邻域信息加入标准的FCM 模型和由基于内核函数的直方图的FCM模型初始化来形成。模型中的概率表示相邻像素对中心像素的影响，这个概率在模型中起着关键作用。通过最小化基于高斯函数的FCM模型是计算隶属度和更新聚类中心的有效方法。算法的性能已经用医学图像测试了，用医学图像是为了减少不均匀性和让像素附近的标签受到邻近标签的影响。此外，本文对该模型与现有的基于FCM模型的结果的进行比较。

关键字：模糊c均值，类，核函数，高斯函数，直方图，概率，分割

1. 引言

聚类分析在解决医疗领域的需索问题中发挥着重要的作用，例如心理学，生物学，社会学，模式识别和图像处理。由于MRI的图像设备的局限性，获得的图像具有以下难题：空间分辨率低，射频不均匀，低对比度和组织边界不清晰。在模糊集理论[1]中，这涉及到隶属函数描述的部分隶属度。模糊聚类作为软分割方法已被广泛研究并成功应用于图像分割[2-4,6,7]。MR图像信号受到患者的身体和运动高度影响。所以在解剖结构信息不正确时，医疗MRI将受到严重影响。因此，在进行适当诊断的治疗计划之前的医学图像分割是重要的。医学图像分割最初是手动分割，但是手动分割不仅困难而且耗时和费用昂贵。MR图像的自动分割并不是一个容易的任务，这涉及到各种学科覆盖的图像分析、数学算法[8-10]。目前，已经开发了许多的图像分割技术和发表了大量的研究文献[11-14,25]。

在最近，许多的分割方法是基于无监督的聚类模型。无监督聚类是使得相同组的样本比不同组的样本更相似的用于排序对象的过程。目前，在无监督聚类方法中，模糊聚类的FCM在医学图像分割中起着主要的作用[15]。在[5]中提出了一种用于多变量图像分割的基于几何引导FCM算法的半监督FCM技术。在这个模型中，通过考虑每个像素的局部邻域来确定这个像素的几何条件信息。

模糊聚类技术的主要缺点是对数据中的噪声和异常值很敏感且需要大量的时间收敛，原因是测量聚类中心与数据点之间的相似性的平方范数。为了聚类更多的更一般的数据集，已经提出了许多的用其它相似性度量代替平方范数的模型。最近的一个发展方向是使用内核方法构建的内核版FCM模型。在[16,17]中提出了用于聚类不完整数据和医学图像分割的KFCM模型。然而，在医学图像分割中，KFCM的一个缺点是不考虑图像的任何空间信息，这使得它在计算邻域项的每个步骤非常耗时。为了减少计算时间，提出了通过用MST初始化FCM、对KFCM 加上惩罚项和基于直方图的FCM[18-21]。虽然上述方法都声称对噪声具有鲁棒性，但是它们都面临着选择参数来控制空间约束的问题。在本文中提出了基于高斯函数的高效内核诱导FCM（EKFCM）的图像分割的聚类算法。该算法的设计思想是通过先验概率将空间邻域信息并入标准的FCM算法。给出的概率表示相邻像素对中心像素的空间影响，在模型的实现中概率可以通过模糊隶属度自动确定。然后，使用前面获得的概率重新计算当前中心像素的新的模糊隶属度。通过给定的内核函数使用基于直方图的FCM模型来对该模型进行初始化，有助于加快算法的收敛。使用随机数据的实验结果表明，该模型可以获得与许多衍生于高效KFCM模型相当的结果，并且对于降低噪声和异常值是有效的且更有鲁棒性。

2. 拟合基于直方图的FCM算法

2.1 内核方法

最近，内核函数应用于学习机器上的技术被提出并被成功应用于信号处理模式识别和图像处理等。内核方法经常研究和采用具有非线性分类边界的高维特征空间S。因此，映射如下：

是使一个对象x映射到S中：

式中是维向量，可能是无限维向量。在非线性分类方法中，显式形式的在这里无法使用，但内积可以定义为：

函数被称为内核函数，我们假设这个函数为高斯径向基函数：

2.2模糊C均值模型

这种方法首先由Dunnin [22]引入，并由Bezdekin [23]进行改进，它是基于以下目标函数的最小化：

通过对上述目标函数的迭代优化，通过下面的成员和集群中心迭代公式来进行模糊分割：

当下面的约束条件达到时这个迭代就停止

3.基于直方图的模糊c均值聚类模型

标准FCM模型是一种迭代操作，当用于图像分割时，它逐像素地计算聚类中心和隶属函数。因此，模型的收敛速度非常慢，使得在图像分割中并不实用。

为了解决这一问题这里采用了由永阳的灰度直方图模型[21]。我们定义非负集成组作为灰度，是最小灰度，时最大灰度，因此，灰度为。

4.基于直方图的核函数诱导FCM模型

本文提出了基于直方图的FCM的改进，通过引入核函数使得对象的聚类更合理。修改后的模型是

为了得到基于高斯函数的内核诱导FCM，距离函数可以被修改为

我们可以把表示为高斯函数

其中sigma;是使用者可以调整的参数。

用式（3）代入式（1）中，得到基于内核诱导直方图的FCM的目标函数为

4.1 获得隶属度

为了获得计算隶属度的迭代公式，我们对模型最小化

因此，我们可以使用拉格朗日乘数法对上述模型（4）最小化

由拉格朗日方程的必要条件，对模型进行关于u的偏导数并将一阶偏导数设为零，我们得到

由于模型中的分割矩阵满足以下条件

我们得到

使用等式（6），我们获得了隶属度的一般迭代公式

这个迭代公式用于数据中查找有意义的组关于类的隶属度。

4.2 更新聚类中心

使用高斯函数，基于直方图的FCM模型可以定义为

新的FCM模型只对图像的直方图进行操作。

5 . 基于高斯函数的高效内核诱导FCM [EKFCM]

标准FCM算法的目标函数（I）不考虑任何空间信息，这意味着聚类过程与图像分割像素的灰度级无关。 因此，这使FCM对噪声非常敏感。 然而，根据马尔科夫随机场的理论，大多数像素与其邻域像素属于相同的类，这意味着像素的隶属度取决于其邻域像素的类隶属度。这样可以减少噪声影响的概率和重叠点[24]。 本文提出的技术的一般原理是在分类时将邻域信息加入FCM算法中。

（II）中给出的模糊隶属函数可以被扩展为：

我们提出的内核诱导直方图FCM模型用上述快速FCM模型进行初始化。一旦快速FCM停止，EKFCM模型从快速FCM模型获得聚类中心和隶属度的值继续运行。内核FCM模型然后迭代更新其先验概率，隶属度和聚类中心。 当这种改进时，高效KFCM模型已经收敛，发生另一个去模糊化过程，以便将模糊分割矩阵转换为分段的清晰分区矩阵。

5.1高效的KFCM模型

6 . 结果与讨论

本节列举了一些随机数据、图像噪声的实验结果，来说明我们提出的方法的分割性能。首先，基于内核诱导产生的直方图的FCM的初始化，发现类的中心。然后在使用随机数据的连续相互作用实验下确定类的中心及其标准FCM和EKFCM的收敛（图1和表1）。在欧几里德距离度量的模型下，标准FCM模型的更新中心数量较多。这需要更多的迭代次数来收敛到算法的终止值。通过新的高效的基于内核距离函数的模型可以实现终止值且迭代次数更少，获得隶属度（表2）的性能要好于标准FCM。表3给出了通过标准FCM和EKFCM在随机数据上实现聚类结果的迭代次数。从最终聚类，隶属度（表2）和散点图（图2）可以看出，我们提出的EKFCM是比标准FCM快得多，并且方法快速收敛到终止条件且运行时间较短。

为了测试EKFCM的有效性，将基于直方图的内核诱导FCM用作中心。这是为了找出模糊隶属度和适当数量的聚类。因此，我们已经确定了最终形成的最优聚类为3。该算法也减少了迭代次数。EKFCM聚类算法具有以下紧密的隶属度（表2和表4）。

7 . 结论

因此，本文提出了基于高斯函数的高效内核诱导模糊c均值的图像数据分析。该算法通过引入基于核函数，高斯函数，基于直方图的和拉格朗日方法的FCM模型，对图像数据进行适当的有效分割，克服了常规FCM聚类算法的噪声敏感性。提出了一种基于直方图的高效内核诱导FCM模型，用于图像数据分割。该算法的主要贡献是通过先验概率将空间邻域信息并入标准FCM模型中，可以根据中心像素及其相邻像素的隶属度自动决定算法，并将结果与标准FCM分割进行比较。从我们的比较可以看出，EKFCM表现优于FCM。结果表明，基于内核直方图的FCM的模型是一种有效的方法，能构建一种健壮的图像分割方法。我们希望我们提出的方法也可以用于提高基于欧氏距离函数的其他FCM类算法的性能。

致谢

感谢审稿人的建设性意见。我们感谢维克兰工程学院院长Eriji Vijay先生的鼓励和支持。 我也感谢蔡奈的Satyabhama大学数学系A.Sathya博士在这项工作中及时的帮助。

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