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一类具有时滞和非线性发生率的SIR流行病模型的全局稳定性

C.Connell McCluskey

Department of Mathematics.Wilfrid Laurier University.Waterloo,Ontario,Canada

摘要：

近期一篇论文[R.XU，MA.Z.的一类具有时滞和非线性发生率的SIR流行病模型的全局稳定性及非线性分析，RWA10（2009）3175-3189]提出了疾病传播的SIR模型具有时滞和非线性的发病率。该文中的分析只部分解决了基本再生常数gt;1的情况下地方病平衡点的全局稳定性。在本文中，全球动力学将充分利用Lyapunov函数确定gt;1。它表明，地方病平衡点不论区域和时间如何都是全局渐近稳定的。

关键字：

时滞，全局稳定性，Lyapunov函数，非线性发病率

1.引言

在本文中，我们认为，提出并研究的是使用大规模行动发病率的早期疾病传播的SIR模型（例：见[2,3]，）的一种改进。文献[1]中的模型通过使用发病率函数考虑了感染力饱和状态的情形。当alpha;=0时，此模型与大规模行动发病率重合，即为文献[3]中给出的模型并在文献[4]中完成了全局稳定性的分析。

在文献[1]中给出了当前模型的详细分析。它表明，如果基本再生常数lt;1，则该无病平衡点是全局渐近稳定的。如果gt; 1，无病平衡点是不稳定的，系统是永久性的，并且有一个地方病平衡点是局部渐近稳定的。此外，gt;1则表明，如果alpha;足够大，或者alpha;和tau;足够小，则地方病平衡点是全局渐近稳定的;在这些情况下，后者是通过使用Lyapunov函数进行处理的。

在本文中，我们证明了当gt;1时，地方病平衡点是全局渐近稳定的，且没有对参数作出任何其他附加条件。本文所使用的方法，就是类似于文献[5,4,6]中应用于各种大规模行动类模型的Lyapunov函数方法。本文的结构安排如下：第2节中提出模型。第3节中对文献[1]中模型的相关结果进行说明。第4节中，地方病平衡点的全局渐近稳定充分条件被证明为gt;1。

2.提出模型

我们将个体分为三类：易感者（S）,感染者（I），可恢复者（R）。新个体的形成是以恒定的速率B引入易感者。死亡率分别为，，。I类型在恢复前所用的平均时间为1/y。从生物学角度来看，我们假设le; y，即去除感染至少要像去除易感者一样快。疾病的传播是通过能快速动态传播和具有固定的潜伏期tau;的载体进行的。以下文献[2]中，载体可从包含感染力时滞tau;的方程中忽略。假设感染力饱和的感染者数量增加，则有发病率函数，其中beta;是接触数目，alpha;决定感染力饱和程度。

令S=S(t),I=I(t),=I(t-tau;),=I(t-s),以避免在接下来的计算当中过度使用括号。则文献[1]中模型的方程变为

=B-S-

=-( gamma;)I (2.1)

=gamma;I-R

因为R不会出现在方程和中，所以它能充分分析(2.1)解的性质。(2.1)的初始条件为

S(0) isin; Rge;0，I(theta;) = phi;(theta;) ，其中 theta; isin; [minus;tau;, 0],
当 phi; isin; C([minus;tau;, 0], Rge;0), 函数在[minus;tau;, 0], Rge;0上连续。

3.初始结果

我们现在从文献[1]中得到了一些重要成果，这给本文的主要结果提供了背景。文献[7]中模型的基本再生常数为

=。

对于所有的参数值，无病平衡点由下式决定

=()。

如果le;1，则是唯一的平衡点；

如果gt;1，则还有一个特殊的地方病平衡点。

泛函微分方程[8]的标准理论可以用来证明（2.1）的解存在并在tgt;0上可微。

命题3.1：(2.1)的每个解都满足。

定理3.2：如果lt;1，则全局渐进稳定。

对任意的，任何满足I(t) = 0，t isin; [minus;tau;, 0]的初始条件的解都符合。系统中出现疾病时则有更大的关系。

定理3.3：如果gt;1，则是不稳定的，且局部渐近稳定。此外，该方程组一致连续。即存在nu; gt; 0使得且，初始条件满足I(t) gt; 0，t isin; [minus;tau;, 0]。

4.时的全局渐进稳定性

在[1]中，给出了时，全局渐进稳定的充分条件。这些条件通常会满足于大alpha;或小alpha;和tau;。在本节中，我们分析gt;1的全局动力学性质，且无需任何其他附加条件。已知：当且仅当gt;1，存在地方平衡点。

定理4.1：如果gt;1，则全局渐进稳定。

证明：为简化后续的许多表达式，首先定义函数 f(x)=。

求解(2.1)在处的解。

令 (4.1)

(4.2)

则

(4.3)

我们将分析Lyapunov函数

(4.4)

我们注意到g在Rgt;0 → Rge;0有严格的全局最小值g(1)=0。因此，当且仅当==1且=1, s isin; [0, tau;]时，V(t) ge;0等式成立。

由命题3.1和定理3.3可知，解是有上界的，且从0开始。为了不失一般性，我们可以假设在t ge; 0上，问题的解都满足于这些界限。因此，在t ge; 0上定义V(t)。

为清楚表达，的导数，和将会被分开计算，然后组合得到。

使用(4.1)替换掉B得

令，此外，令，

可得

(4.5)

然后计算。

用(4.2)替换掉( gamma;)得

(4.6)

再计算。

(4.7)

结合等式(4.5)-(4.7)，并乘以由(4.4)确定的适当的系数，可以得到

通过加减，可得

这是一个简单的练习以证明当且仅当z=1时F(z)-z ln(z)-ln(F(z)) le;0等号成立。(表明式子的导数具有相同的符号1-z)。结合事实当且仅当参数为1时gge;0等号成立，可知le;0。根据文献[8]中的定理5.3.1，解局限在M中，是{=0}的最大子集。我们注意到当x=y=z=0时，=0。特别的，这就要求对于任意M上的解都有S(t)=和I(t)=,且M包含奇点。因此我们知道所有的解都趋于地方病平衡点。由定理3.3可知，是局部渐近稳定，则可得出结论：是全局渐进稳定的。

参考文献

[1] R. Xu, Z. Ma, Global stability of a SIR epidemic model with nonlinear incidence rate and time delay, Nonlinear Anal. RWA 10 (2009) 3175–3189.
[2] K.L. Cooke, Stability analysis for a vector disease model, Rocky Mountain J. Math. 9 (1979) 31–42.
[3] W. Ma, M. Song, Y. Takeuchi, Global stability of an SIR epidemic model with time delay, Appl. Math. Lett. 17 (2004) 1141–1145.
[4] C.C. McCluskey, Complete global stability for an SIR epidemic model with delay-distributed or discrete, Nonlinear Anal. RWA 11 (2010) 55–59.
[5] P. Magal, C.C. McCluskey, G. Webb, Liapunov functional and global asymptotic stability for an infection-age model, Appl. Anal., in press
(doi:10.1080/00036810903208122).
[6] C.C. McCluskey, Global stability for an SEIR epidemiological model with varying infectivity and infinite delay, Math. Biosci. Eng. 6 (2009) 603–610.
[7] O. Diekmann, J.A.P. Heesterbeek, J.A.J. Metz, On the definition and the computation of the basic reproduction ratio R0 in models for infectious diseases
in heterogeneous populations, J. Math. Biol. 28 (1990) 365–382.
[8] J. Hale, S. Verduyn Lunel, Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, 1993.

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