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SEIV流行病模型的分析与非线性发生率

摘要

本文研究SEIV流行病模型与非线性发病率.这个模型展现了两个平衡点：即无病平衡点和地方病平衡点.结果表明，如果基本传染数，无病平衡点是全局渐近稳定的，在这种情况下特有的平衡是不存在的.此外我们表明，如果基本传染数，在一定条件下疾病是一致稳定且系统唯一的地方病平衡点的饱和发生率是全局稳定的.

1. 引用

疫苗接种是控制疾病的常用方法，如乙型肝炎、麻疹、流行性感冒等.但是在给定的群体中所有易感个体接种疫苗是不可能的，特别在这种不容易得到或负担不起疫苗费用的国家.一些临床结果表明[1]，疫苗只能对疾病起到临时免疫的效果.因此一旦接种疫苗的人疫苗减弱，这个人会再次变得容易感染疾病.所以，需要确定最优疫苗覆盖率来根除一切疾病是至关重要的.

在传染病模型中，发病率（新染病的比率）在传染病动力学的合理定性描述中起着至关重要的角色[2].双线性和一般发病率一直在经典流行病学模型中被频繁使用[3].然而有几种情况需要使用饱和和近双线性这种非线性发病率，例如，约克和伦敦[4]表明发病率,c是正数且与时间有关的麻疹爆发的模拟结果是一致的.包括行为变化的影响，刘和同事[5,6]研究了一个非线性发病率，.数学模型与非线性发病率有很多文献（见[7-14]）,我们建议读者一般参考[3].

给出模型方程如下：

(1)

П是易感人群的新增数量（包括新生儿和移民）；p是新增的一部分接种疫苗的人群；是易感者成为感染者的速率；是自然死亡率；是无病者称为易感者的速率；是感染者治疗或康复的速率；是疫苗减弱的速率.非线性的发病率假设为，一般发病率为.很明显这个双线性发病率.我们假设函数当增加感染人群的数量同时改变了易感人群的数量，.这是因为感染人群的数量和易感人群之间由于隔离染病者或与易感者有高等级的有效的保护措施.

方程(1)的求和，我们可以得到N满足微分方程

即公式给出的解决方案

因此我们假设的初始值为便于人口为常数(即).显然，状态量在生物学上是有意义的集合，，这是明显不变的区域.

使用消去方程(1)中的，可以简化得到以下三维模型：

(2)

令.从简化模型(2)，我们有

从上面的方程能够看出，不存在这种疾病，.因为疾病在群体中传播将会减少，于是得到.并指出对于这个原始模型是一个绝对不变的区域，由此可知

对于模型(2)也是一个绝对不变的区域，且模型(2)显然在中是适定的.

本文的目的在于使用全局动力学模型(2)调查和预测最佳接种疫苗的收敛确保疾病不会传播.本文结构如下.在下一部分中，研究平衡点的存在性和稳定性.在第三部分中讨论疾病的持久性.第四节继续调查地方病平衡点的全局渐近稳定性.本文最后有简单的总结.

1. 平衡点的存在性和稳定性

现在我们通过模型(2)寻找它的平衡点并且研究其稳定性.模型(2)的稳定状态满足以下方程：

(3)

很容易找到方程.(3)总是有无病平衡点.由(3)的第二和第三个方程，我们得到：

， (4)

把(4)替换(3)的第一个方程，我们得到关于的如下方程：

(5)

可以很容易的看出函数是负的，多数的是正的.下面，我们确定它的导数符号：

令，于是出现了

， (6)

所以，如果,那么方程有唯一的正根始终存在.由(4)可知模型(2)有唯一确定的平衡点 .

接下来，我们首先研究无病平衡点的稳定性.模型(2)在平衡点的线性化给出下面的特征方程：

(7)

它是很明显的特征方程.(7)总是有负的特征值.方程的其他特征值.(7)是由下面方程决定的

(8)

很容易找到方程所有的根.(8)有负实部当且仅当

，.如果方程有一个特征值.(8)是0且它是简单的.如果，方程有一个根.(8)有正实部.因此我们首先建立以下引理.

引理1.如果，无病平衡点是局部渐近稳定的；如果，是稳定的；如果，是不稳定的.

为了得到全局无病平衡点，我们需要下面的引理

令

，

引理2.[15].假设一个有界的实函数是二次可微与二阶有界可导的.令，，且收敛于或.然后.

定理1.如果,无病平衡点是全局渐近稳定的.

证明：从上面的讨论，我们已经知道模型(2)的唯一的无病平衡点是局部渐进稳定的当.从(2)的第一个方程，我们有

，

方程的一个解，，，.并指出，，它得到了一个常数,存在一个，有

.因此 .令，有

(9)

因此(2)的第二个方程可以表示为

(10)

用方程(10)和(2)的第三个方程，我们得到以下系统：

(11)

令,得到.因此，是一个严格正定矩阵，是单位矩阵.它是很明显的如果的特征值，那么和是的特征值.它符合Perron-Frobenius定理[16] 有一个简单的正特征值等于谱半径(显性特征值)和一个相应的特征向量(即全部特征向量都是正的).这意味着是实数.如果是的主特征值，则.显然是方程的根

(12)

因为，充分小，我们有

因此二次方程(12)的系数是正的.从而是负的.由(11)推断因为，

“”表示两个向量和的点积.结合上面的不等式得到

.因为，于是有.利用可以推断出

现在，我们发现.事实上，通过引理2，我们选择一个顺序可以得到注意并且从系统(2)的第一个方程我们得到

(14)

从(14)推断出

因此，结合引理1，无病平衡点是全局渐近稳定的，.证毕.

现在我们讨论地方平衡点的局部稳定性模型(2)关于平衡点的线性化给出下面的特征方程

因此，我们得到

其中

经过简单的代数计算，我们得到

通过Routh-Hurwitz定理，出现了方程所有的根.(16)有负实部.因此是局部渐进稳定的.

定理2.如果，那么系统(2)有唯一的的平衡点，它是局部稳定的.

1. 疾病的持久性

下面我们将应用定理4.6[15]研究疾病的持久性，它有着相同的重要性随着地方病平衡点的全局稳定性在流行病学中的意义.人口的持久性最近已经被一些学者调查[17-22].和定理4.6[15]持相同的观点，我们定义.

定理3.如果，则存在,独立的初始条件满足,那么.

证明：在前面的小节中，我们已经展示了是有界的且绝对不变的.因此存在一个紧凑集,在系统(2)的所有解最终进入且永远保持.定理4.6[15]的紧密条件对于很容易验证.令是的极限，系统(2)的解 .我们要表示下面是适用的：

.

根据系统(2)，得到所有初始解在bd除了在S轴基本远离bd这意味着.此外，我们注意到当所有解在S轴上收敛于.于是是的一个覆盖，它是孤立且非循环.下面，如果证明了是的弱排斥点，则定理的证明完成.

按照定义，是的弱排斥点如果每个解都起始于,

因为(17)成立,我们证明下一个

表示的多次稳定点.为了得到结果，假如(17)不适用这些解初始解.因为接近正八分圆对于系统(2)是绝对不变的，于是得到且.如果(18)成立是显然不可能的.

我们现在证明了(18)成立，事实上，无病平衡点是不稳定的.特别的，系统(2)的雅可比矩阵有一个带有正实部的特征值，表示为，两个负实部特征值，表示为(注意).我们将开始确定的位置()的稳定的特征空间.显然，是的一个与相关关的特征向量.如果，那么与有关的特征向量有：,满足特征方程

如果，那么是一个特征值组，并且一个相关的广义特征向量有以下结构：，*与接下来说的无关紧要且.

在剩下的证明中，如果我们表明在下面两种情况下向量,定理3的证明就完成了.事实上，通过一个不可约矩阵的定义，(19)中的矩阵是一个不可约的Metzler矩阵.通过在(19)中的矩阵添加一个足够大的正的多元识别矩阵，可以在(19)中得到一个非负矩阵.因此(16)满足Perron-Frobenius定理. 由Perron-Frobenius定理,矩阵(19)拥有一个简单的实特征值，它是比任何其他特征值都要大的(也称为主特征值).显然，这里的主特征值是. 但Perron– Frobenius定理也意味着每一个特征向量不属于封闭的正八分圆因为它不是与主导特征值有关.这意味着.因此,且.证毕.

1. 地方病平衡点的全局稳定性

在这部分，对于模型(2)，我们选择.因此，我们得到下面带有饱和发病率的系统

显然，如果,模型(20)有唯一的地方病平衡点.下面我们使用李和Muldowney[23]的几何学方法去研究在可行域上的地方病平衡点的全局稳定性.

是一个含x的函数在开集.考虑微分方程

(21)

令表示(21)的解满足.我们可以有如下两个假设.

存在一个紧凑吸收集.

方程(21)有一个唯一平衡点在.

引理4 (见[23]).假定假设和成立.假定(21)满足Bendison标准，即f的局部扰动下的是(21)的非平衡非游荡点.那么假设它是稳定的，在中是全局稳定的.

定理 4 令.如果且，那么系统(20)的地方病平衡点在是全局稳定的.

1. 结论

在本文中，我们研究了SEIV传染病模型的动力学行为，结合了非线性发病率和减弱预防性疫苗.对于模型(2)，我们获得了基本增殖数.从的定义可以看出，如果

那么.因为是的一个递减函数，于是得到如果,那么;如果那么.因此如果，那么消灭疾病的效果是令人满意的；，疾病还会存在.注意，如果,那么.因此可以被改写为.的表达式可以显示出疫苗覆盖率p可以引发疫苗的免疫力,减弱的平均持续时间的保护在人口平均预期寿命.因此，我们可以获得最佳疫苗的趋向.显然这个表达式还显示疫苗接种覆盖率是的增函数.从而，通过接种疫苗增加免疫力的持续时间来控制公共卫生管理是必要且重要的，这降低了疫苗接种的临界值.

致谢

作者感谢M.Cross教授和匿名者的批评，他们为改进手稿提供了有用的反馈和有益的建议.作者还要感谢Michael Y.Li教授的帮助.

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