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分段线性函数的直接解法

设S为n*n矩阵，Z，，且Z的分量模数分段线性方程组Z-S=已被证明为与一般线性互补问题等价，意味着它是NP-hard。

我们表明对于几种系统类（在S上的结构意义），AVE基本上保留了常规线性方程的良好性质的可解属性。例如，它可被用调整过的高斯消去法（带符号的高斯消去法），对于密集矩阵S，该算法具有到O(n)的运算，与通过列旋转的经典高斯消去法有相同的运算计数。对于n个变量的三角系统，其计算成本大致是排列n个浮点数在S上提出的限制条件灵敏度上建立。

1. 定义与标记

我们定义(R)是n*n实矩阵，而[n]是{1，hellip;，n}中一个。对于向量和矩阵，绝对值和比较用于分量。零向量和零矩阵将定义于0。

一种签名矩阵，或简称署名。是具有 1或-1的对角矩阵。n维对角矩阵定义为。

设Sisin;(R)，，zisin;。分段线性方程组（PLE）

Z-S= （1）

被叫做绝对值方程（AVE）。被Rohn首次提出。Mangasarian证明了其与一般线性互补问题（LCP）的等价性。Neumaier撰写了关于其与线性间隔方程研究领域亲密联系的详细调查。Griewank和Streubel最近的结果表明，任意结构的PLE可以通过一对一的解决方案对应转换成AVE。

特别密切相关的系统类型是形成的均衡问题

AX max(0,x)=b （2）

当Aisin;(R)以及x,bisin;。（一个突出例子是第一个水动力模型。）运用定义max(s,t)。公式能重新定义为

AX =b(2A I)x （3）

对于常数B，等式（3）与（1）相同。

在几个有趣的问题领域十字路口，这一立场与为AVE开发有效解决方案的任务相关。关于这件事的最新方案包括线性规划和凹面最小化的方法，以及各种牛顿和定点方法。（见例1.19.5或[4]）

让sum;isin;使得。（因为0= 0=-0，所以0设有符号），然后我们重新写（1）为

（I-S）z= （4）

在这种形式下，解决这个计算主要困难是为z决定合适的符号。也就是说，确定原点z周围的领域中的一个。一般来说，这是NP-hard。

检查系统的独特可解性也是NP-hard，在Rump中被证明。相当于检查成为S的符号—实际光谱半径的数量是否小于1，折反过来等同于检查等效LCP的系统矩阵是否为P矩阵。因为，这些记号和结果对于AVE理解十分重要，所以我们将在第二部分简短的说明。我们还将看到，本文中研究的系统都具有唯一的可解性质lt;1。

以下简单观察是后续讨论的关键：

定义1.1.若lt;1，，和符号重合。

证明：若z的一个分量使得。若，则z= Z-S。因为Z-S也为0。而且这个说法是显然的。若,则lt;，由于S的规范约束。因此，=-的符号一致。

虽然我们不知道，哪些指标符号重合。在第三部分中，我们将推导出对S的几种类型的结构限制，每一种都将保证和的符号对于所有最大值在。

在第四部分，我们将设计一种利用这种知识的修正高斯消去法。这种签署的高斯消去法（SGE）将基于以下中心点：

1. 如果我们知道的正确符号，我们就可以在形式（4）的AVE上执行高斯消去的一个步骤。
2. 若lt;1，在系统（4）上执行高斯消去步骤期间，没有行或列导致稳定性或可计算问题。因此，我们可以随时产生了一个邻域，其中在c 中最大。
3. 在第三段开发的S上强加在高斯消除步骤下是不变的。

对于符合第三段导出的限制S，前两点意味着我们在（4）上总是执行一个高斯消去步骤。第三点确保我们可以重复缩减系统过程，并最终计算AVE的正确（唯一）解决方案。

我们将在密集和三对角的情况下简要分析修改算法的运行时间。对于密集矩阵S与通过柱旋转的高斯消除法的密集线性系统的解法相比，SGE解决（4）具有O（n）计算额外成本。额外的线性项具有小的常数，这使得与修改和未修改SGE，补充操作的成本大致与排序相对于其条目的绝对值一样多。由于底层三角高斯消除法（也称为Thomas算法）在O（n）中，这意味着修改后的算法的渐进复杂度依赖于实现努力的一对一。

本文的结论是对所有提出的限制条件的清晰度进行了讨论。

对于算法结果感兴趣的读者，我们指出不等式（7）等价（1），从定理2.1中的3，和定理3.1的陈述提出了最基本的预知识，使他们能够与第四段合作。

请注意，我们已经概述了上述[4,第七页]。本文介绍了声明的概念阐述。

1. 符合实谱半径

将谱半径S记为让（S）{:为S的实特征值}为S实谱半径。然后它的符号实谱半径在以下定义（见[16.定义1.1]）：(S)max{（）: sum;isin;。

指数的符号说明了(S)的计算NP-hard很容易检查出来。是Gln(R)。因此，为了一个固定的记号，{}和{}是相同的模数排列。而且，因为所有显然是非线性的，S和的特征值是相同的。这些观察立即产生有用的定义

(S)=()=()=(),,

回想一下，如果每个主要次要的都是正的，那么一个真正的（或复杂的）正方形矩阵成为P矩阵[3.第147页]时，LCP才能为所有右侧提供独立的解决方案。[3.第148页.定理3.3.7]。我们现在（再）证明关于(S)与（4）的可求解性之间的关系的一些基本事实。

定理2.1.以下定理等价：

1. (S)lt;1
2. (I S)是一个P矩阵
3. （I-）z=有特解
4. 映射：,z是双射。
5. 使得b在由。
6. det(对

证明：,因为det((A ,矩阵光谱是A的光谱沿实轴偏移我们将通过缩写SHIFT来提及这个事实。

1 ，固定，然后S的所有实特征值的绝对值小于1。因此，通过转换，所有实特征值在开区间（0，2），即特征值全都大于0。复特征值出现在共轭对中，因此它们的乘积也是正的。这产生了正的邻域。

6假定det(，对，但。以下有两种情况：

情况1.，使得至少有一个实特征值以及固定使得然后由SHIFT，中带有绝对值的所有绝对值小于中的正根。方程中的所有复根也都为正。因为从交换了的符号，为了让det（）gt;0和0，中的带绝对值的正负根必须大于一个偶数或是零。但是，假设两者都不为零。由于复特征值的数量也是偶数或是零，所以绝对值大于1的复数或实数的特征值的总数必须是均匀的。但是我们也有

det（）gt;0，

带绝对值的实根小于由SHIFT之后的的负根。它们的数量必须是奇数，因为剩余的特征值的乘积是正的。但是，随着剩余特征值的数量为偶数，S的维数必须是奇数。因此，对于，特征多项式(x)也必须是奇数。因此，对于或

(x)x和(x)x （5）

按照定义(1)gt;1且(-1)lt;0。通过我们上面显示的或者具有小于1的正实根的偶数，即在的负值的左边在-1上，或在在两者。这显示

(x)x和(x)x

或者在情况（5）下两者都存在。

2z且uw。因为u0,w和w=0，我们得到=u w，将其带入AVE，我们得到

u-w S(u w)

(I S)u

w=- -(I S)u

后一种方程式具有LCP的形式，因此具有独特的解决方案，当且仅当(I S)是P矩阵。

3 若b在由定义的邻域内，那么。所以b是方程的一个解。但是等价是清楚的。

2 对于A,B(R),以下等价成立：TA （I-T）B对于。所有对角矩阵T是规则的是P矩阵（见[7，定理3.4]）

但我们有T（） （I-T）（）=I-(I-2T)S，且矩阵(I-2T)与对角阵D,lt;1显然是相同的。

76 显然。因为n*n对角矩阵D，lt;1是的凸包。

64 如果我们将（1）解释为分段线性映射：,z，那么对所有标志det(意味着的广义Jacobians都具有相同的行列式符号—称为相干方向的属性，并意味着映射的冲突[17,第32页]。因为的分段线性来源于不被封装在其他绝对值中的绝对值，所以它是所谓的简单切换分段线性映射。[4.第2页]

此外，由于行列式的连续性，对于每个都存在一个开邻域(R),在I周围使得对于所有，有det(，那么（开放集合的有限交集）M是I周围的一个非空的开放区域，使得det(以及所有的。因此，相干取向和简单切换的分段线性映射的定义[4,第4页]。因此，它也是一一对应的（参见[4,推论4.5]），因此是双射。

43 显然。

备注2.1.在等价性1.3.6.7.，由Rohn第一次提出。新的证明（大多数）使用线性互补理论，从而展示了LCP和AVE的亲属关系。对于线性代数原始证明，见例子[13,第218页]。在[4，第7.5页]，Griewank提出了将所谓的Abs-正态表现形式的一般PLE转换为LCP。为了证明2.3.，我们将这种重新修改适用于AVE。证明6.4.阐述了近期分段线性理论的生产能力。线性变换将映射到不同象限，定义为对于除了的所有。也就是说，第5点不是有趣的在目前的设置，但牛顿型方法的解决方案（4）取得重要突破。

简记：转换观点的证据，仍持有上述语句。若我们用*I替换了I以及(S)lt;替换(S)lt;1，相对地（为正的标量）。

而且，若我们记住，仅仅有一个符号矩阵乘法翻转的迹象，没有改变行和列的绝对值项。我们立即得到：

===, （6）

结果，我们也得到：

=, （7）

且(S)。我们将仅考虑lt;1在现在的工作，对于以后研究的所有系统，这产生(S)lt;1，从而积极地回答了其独特可解性的问题。

虽然我们只用利用无穷大的情况，但值得一提的是，(S)实际上是由所有P范数。（见[16,定理2.15]）

3.主要定理

我们引入一个轻微的符号表示法：在此之后，我们将使用它们的索引排序的一组条目来识别向量visin;Rn。 也就是说，vequiv;{v₁，...，v_n}。 这样，以下定义中的集合Cmax和Delta;=可以包含c的条目的任意子集。 现在让我们

C_max=},

且

sum;_ne;equiv;{：sign（z_j）ne;sign（）}

其中sign表示signum函数。 也就是说，sign是{-1，0，1}中的一个元素。 这是一个更严格的符号巧合概念，而不是引言中的一个，其中0被认为是一个合乎逻辑的不理会，而 和 - 被允许作为适当的标志。

评价3.1 在下一节中构造的带符号高斯消除已经在较弱的假设下工作，从c_igt; 0可以看出，z_ige;0（从c_ilt;0，z_ile;0）。 也就是说，它不区分一个对象的内部和边界。 然而，这是没有理由不要制定下面更精确的陈述。

定理3.1 对于问题（4）我们有

cap;=empty;，

如果满足以下条件之一：

1. lt;。
2. 是不可约束的且lt;。
3. 是严格对角占优且。
4. 是三对角且。

3.1 1.和2.的证明

下面的引理将提供一个充分条件的定理。

引理3.2.，zisin;,Sisin;(R)以及(S)lt;1,且sum;isin;,这样对满足（4）。那么，若矩阵Aequiv;严格对角占优与三对角，我们有

cap;=empty;。

证明：情况1：gt;0，因为,对任意jisin;[n],我们总是有gt;。因为A严格占优，所以将采用的符号。

情况2：=0，那么。当isin;，因为由(S)lt;1表明独特可解性，z也是零向量，特别意味着=0.

有了这个标准，我们可以证明这个定理的前两个陈述：

引理3.3. Sisin;(R)不可约束，lt;，那么矩阵倒数Aequiv;I-S严格占优且对角线为正。

证明：我们有_infin;le;le;,表明==0。因为，A^-1通过依若曼系列表达

A^-1==I

不等式_infin;le;le;=1也确保A^-1的弱对角占优。

现在固定任意iisin;[n]，假定第i行不是严格对角占优，记为,i,jisin;[n]，那么

1=ge;le;=1

表明=，任意jisin;[n] （8

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