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从Swarm卫星数据集中推导地核磁场模型的一种算法

Martin Rother, Vincent Lesur, and ReykoSchachtschneider

摘要：着眼于对Swarm卫星数据的最优化使用，我们已经准备和测试了相关软件，它致力于确定准确的地核磁场模型以及磁传感器和卫星参考坐标之间的欧拉角。专用的地核磁场模型估算通过GFZ参考内源磁场模型（GRIMM）反演和建模。数据选择技术及模型参数化是类似于第二代（lesur et al.,2010）和第三代GRIMM模型的模型反演，尽管原计划中对于地磁台站数据的使用并未加入Swarm的应用中。正则化技术在反演过程中使磁场随时间变化更为平滑。估计欧拉角的算法也来自对CHAMP卫星数据处理的经验。这个反演方案包括通过表示自转的四元数以确定欧拉角。所建立的模拟技术与软件适用于一个简单的、无噪音、合成的数据集并适用于CHAMP矢量磁场测量数据。我们展示了测试运行结果可应用于合成Swarm卫星磁测数据集。

关键词：卫星，地球观测，磁场，主磁场，球谐分析模型，Swarm卫星。

1．引言

卫星测量的先驱MAGSAT（Langel et al.,1982）卫星，丹麦Oersted卫星和低轨CHAMP卫星不仅提供了研究地磁场的各种场源（如主磁场，岩石圈磁场，外源磁场）的研究提供了机会，还提供了研究这些场源对我们的社会相互作用及影响的机会。最近的古地磁记录显示令人惊讶的快速磁场倒转（Nowaczyket al.,2012），通过CHAMP卫星数据（lesur et al.,2008）揭示的快速的磁场演化显示，进行数据收集非常重要，这是研究全球地核动力学及地核-地幔相互作用的基础。含有三颗卫星的Swarm卫星任务，其中两个并排运行于同一高度的通道，另一个在一个更高的通道运行，它们载有非常先进的测量仪器，这有助于完整任务。地磁场研究的一个重要依据是有一个有效的、统一的、理想的至今仍广泛使用的磁场模型以描述源于地核所产生的主磁场。研究也揭示了对于主磁场时间导数的描述：复杂的小尺度长期变化及长期加速度。这取决于建模者的兴趣和关注的时间段，现今常用的几种全球模型有CM4模型（Sabaka et al.,2004）、POMME模型（Maus et al.,2006）、CHAOS模型（Olsen et al.,2010）和GRIMM模型（lesuret al.,2008,2010）系列。

为帮助Swarm数据的正常使用，ESA已创建了level-2数据（Olsen et al.,2013）。其目的是提供科学界对已知的地磁场场源进行模拟的理想的地磁模型。产品分为2类：CAT-2产品，与成熟和带有微小时滞的高度自动化算法所创建的level 2数据；基于成熟算法的CAT-1软件。下面描述在Swarm CAT-1环境下的专门地核场模型（DCO）。

DCO软件分为慢速和快速通道两类。每一个通道是在确定专用的地核磁场模型和在磁场传感器和卫星的参考系之间的误差角度的估计。慢通道将覆盖所有可用的数据，因此，适合的时间跨度至少为一年。快速通道的特点是时间短，但仍然需要覆盖所有的局部，即一般至少约三个或四个月。慢通道可精确的描述长期变化，因此由一个复杂的时间依赖关系，快通道的主要目标是对其他Swarm CAT-1链用于预测地核磁场模型精度的早期观点。同时快速通道是用来评估磁场传感器和用于Swarm level-1b磁数据处理的卫星参考系之间的失准角的有效性（Toslash;ffnerClausen and Hansen, 2007）。快速通道的输出会通过内部验证，并并不向公众发布。

本文的结构如下：DCO地核磁场建模与失调角（即欧拉角）估计方法的介绍，尽管它们是软件的一个组成部分。我们首先分别提出了一个大概的算法。最后，DCO处理方法进行了测试并在应用于基于本研究的框架中建立的一个合成数据集。基于真实数据的结果也包含了对欧拉角计算。

2．地核磁场建模：传承与改编

GRIMM方法的建立和与迅速增长的CHAMP数据集和模型的特点，已普遍采用。然而，该方法的重点和应用程序中已经介绍了一些变化。使用台站数据并没有预见。然而，该方法主要是在外源的处理和感应场已建立。精心选择参数化建模非常必要，首先因为建模需要基于可行的指数，其次由于其他指数比通常的GRIMM方法实用，最后由于实际数据集的具体特点。基于卫星数据模拟地核磁场较为困难，科学家是需要对调整软件配置和传输最终结果。

2.1选择

在建模中尝试的第一步是抽取和选择可用的数据，删除无法从地核磁场信号中分离、或不能进行详细建模、或最后通常是噪音的数据。局部时间窗口，各种指数和标志作为选择的标准。最重要的区别是一方面极区之间的地磁纬度范围为区域，另一方面是中、低纬度卫星数据。对于后者，数据绕着太阳磁场（坐标）系坐标旋转。下列一系列与外源场相关的指数被用作选择标准而输入：

MMA是一个大尺度磁层磁场及其地球感应部分的球谐模型系数的时间序列（Hamilton，2013）；

AUX DST是带有DST指数的Swarm L-2产品的名字，DST包含对大阪地磁WDC数据的浏览及初步估算，详见（Olsen et al., 2013）；

AUX IMF是带有行星际磁场值的Swarm level-2的名称（Olsen et al., 2013）。

以下选择标准应用：

• 行星际磁场的垂直分量（IMF-BZ）必须是正数，为最大限度地减少可能重新与行星际磁场的磁力线连接相关的噪声（IMF）；
• 最低20s要求是采样点之间相关的非模型化的岩石圈磁场产生的最小误差；
• 当地时间23:00至05:00之间电离层产生磁场的数据贡献必须最小化。太阳还必须低于地平线100公里以上的地球的参考半径（a= 6371.2公里），
• 在MMA的值必须小于30nT及其时间导数的范数小于100nT/天，选择磁静期。而原来的GRIMM方案是利用矢量磁场干扰指数，Thomson和Lesur（2007），有界集20nT和100nT/天，我们的选择是使用快速MMA产品或辅助DST产品。作出的选择取决于MMA的可用性或是否MMA是不恰当的目的。所使用的阈值将需要适应实际的数据集。这是一个对SIL的选择并证明选择的任务。
• 质量标志应该标明最低质量阈值的数据。这主要是拒绝异常值。只有一个星象仪读数的数据通常会被拒绝，除非弱数据密度要求他们的选择。该标志信息的处理已经实现了CHAMP的数据，但实际上并不能微调的Swarm卫星在Swarm卫星真正的读数是可用的。

在磁纬度区间，在高纬度地区，三分量磁卫星数据在北、东、中心（NEC）坐标系和当地所有的时间被使用。这些标准的选择，以避免在高纬度数据的时间序列的差距。即使这些选择标准是用于最初的地核磁场反演，这似乎由最初可调谐的SIL最初的推荐结果。特别是，为应用程序（TDS-1，看到Olsen et al., 2013）的合成Swarm测试数据集的高纬度数据被选中一个严格的时间窗口。

2.2模型参数估计

目前部分主要介绍对GRIMM反演方案模型的参数化。该算法并不试图估计由磁场定向的电流产生的磁场的环形场，或在高纬度地区的电离层中产生的磁场。如发现GRIMM和GRIMM-2初步版本之间的比较，建立这些领域提高了适合的只有最低限度的数据。除了岩石圈磁场，该模型包括地核磁场，大型的外源磁场的代表和相关内部诱导的同行。地核磁场建模为一个內源势场的梯度给出一系列的球面谐波（SHs）（lesur et al.,2008）：

，（1）

, （2）

，（3）

其中C=3485公里是地球的核心参考半径，是施密特半归一化技术。或M＜0，与条件相关，并为空或正，，与条件相关。地核磁场模型的最大值设置为，即使在球谐阶数上岩石圈磁场的贡献是已知的。当时的高斯系数数据依赖表示为一系列的B-样条函数，，6阶。这些时间节点被选为一年半的时间。这个样条阶数，增加Gauss反演家族发展过程中的第一代以来，重点对长期变化和加速度的估计。三次样条半年间距是从第三代GRIMM模型系列。

岩石圈中产生的磁场被认为是独立的时间，并可定义为：

（4）

（5）

a=6371.2公里为地球的参考半径， 为和岩石圈部分的最大截断阶数。在第二代和第三代的GRIMM，参考岩石圈磁场模型是在预处理阶段的数据中减去。正因为如此，目前的建模工作有效地对应于原来的岩石圈磁场模型的修正。此校正的最大球谐阶数不需要是大的，一般设置在20和30之间。在对TDS-1 SH最大度为20的具体应用，这意味着未确定岩石圈磁场系数和参考的岩石圈磁场模型的AUX-LIT场模型（Olsenet al., 2013），通常使用DCO截断最大SH 60度。此模型是一个单一的划时代的快照为代表的球形谐波膨胀系数从命令16至250，至少在最初几年的Swarm任务将保持不变。

在原则的大型外场处理之间的区别，首先，在坐标的太阳磁系统的磁层场模型（SM）变慢的时间，其次，一个快速变化的磁场模型，结合其诱导对方。这后一个领域是在通常的地球固定，以地为中心的坐标系（地心），和参数化的时间指数控制领域的快速变化。外场指数优先的MMA水平Level-2（Hamilton，2013）。在MMA的指数是不可用或发现不合适，DST指数可以交替使用。假设，MMA的索引，对于缓慢变化的部分外源场描述

（6）

（7）

（8）

在这里，它被理解的矢量和坐标是在SM系统。在外的高斯系数随时间变化的是由一个分段常数表示的是一个100天的节间距定义。这个结点的定义与数据预处理，包括去除MMA 100天平均值在整个时间序列一致。对于快速变化的部分的外源磁场的描述：

（9）

（10）

（11）

（12）

MMA系列的外部和内部的一部分，因此和控制时间的依赖性和分别放在100天的期限缩放，。

外源磁场的最大球谐阶数是集，但只有一个特定子集的外源系数可能实际使用的数据集和明显的意义的系数。特别是使用TDS-1数据集的测试，只有0阶和plusmn;1阶被选为缓慢变化的外源场的模型，而对于快速变化的磁场的参数化和MMA指数只包括SH 1度和0阶SH 2度系数。后来在实际测量中的应用可能需要这些设置的适应。

2.3程序

计算的地核磁场模型由高斯系数的定义模型如最小化功能：

（13）

在权重，是磁数据读数在方向和在同一位置矢量模型的状态。是地核磁场的高斯系数，可以用来约束的地核磁场模型的行为功能。在一个矩阵形式，这减少到：

（14）

在模型的矢量是由模型的高斯系数矩阵G可以得到表达的模型在前一节(公式(1)-(12))中给出d的为数据载体。一般情况下，问题是线性的，在原则上可以迅速解决，但权重矩阵的定义和数据选择过程需要一个迭代的过程来设置。

在第一步中，我们的目标是一个有效的，不一定是完美的，和地核磁场模型相应的，适当的外源磁场描述。对于这第一步，我们假设高斯分布的残差。中纬度的偶极排列的Z分量数据仅用于外源磁场的一部分，没有进入地核磁场的估计。这是相当于在Olsen 等人的无限方差方法集（2007），因此需要几个迭代的优化过程，直到在模型参数的进一步更新变得微不足道。然而，该模型需要一些约束的地核磁场模型的时间演化。这些限制是通过矩阵D的功能定义在公式（14）介绍。我们有效地使用相同的方法，在第二代和第三代的GRIMM在Lesur等人描述（2010），其中的加速度是最小化的模型，而在模型的时间跨度最小化的第三次导数的终点。但我们不排除在必要时修改这种方法。

在这个阶段中，对所有组件和数据类型的数据残差的分布进行检查，以估计的参数K和稍微修改的Huber-Weights（Olsen，2002）。这些权重的定义:

（15）

K的推荐值约为1，并设置a=1，给出了精确的胡贝尔权重。剩余价值在plusmn;K，高斯分布假设。这些权重需要一个迭代的加权最小二乘法（(Farquharson and Oldenburg, 1998）和当模型参数的变化变得微不足道时迭代过程被停止。

3．欧拉角

估算太空中的磁传感器的方向的主要仪器是星象仪。这些都是刚性安装在所谓的“视台”也携带磁力仪。因此，原则上，在磁传感器和恒星摄像机之间的角度（例如欧拉角）是已知的，不随时间改变。然而，由于卫星在发射和维持大的温度梯度沿其通道路径，它是已知的，这些角度在飞行过程中必须重新估计。我们很短的描述下面的算法，这一目的是从根本上相同的Olsen等人提出的一个建议（2007），但在这里我们使用四元数。在发射前建立的欧拉角的小修正可以估计，假设一个已知的磁场并使用磁力计的读数，以找到他们的方向。或者，我们可以共同估计的磁场模型和欧拉角。后面的算法是在一个四元数的介绍后面描述的。

3.1四元数

旋转，特别是那些描述的磁传感器相对于卫星的参考系的姿态可以用四元数格式。四元数是由Sir William Rowan Hamilton1843形成了一个四维的归一化的分裂代数的真实数字—即四元数是由四的真实值的定义，通常表示。他们允许一个连续的，无极自由表示的旋转。他们还允许一个数字适当的嵌套和内插的旋转（通常是用来有效地描述旋转，如在计算机图形学）。四元数进行归一化处理：

（16）

一个旋转矩阵的表示然后（从Wertz，1978）：

（17）

在下面，四元数的符号使用了Wertz公约（1978）， 762页，方程E-7a。这里，是标量的旋转而定义旋转轴。我们注意到一个给定的旋转是由一个独特的四元数只要加的符号描述。

3.2算法

发现描述测量磁场的高斯系数降低，如前文所述，为求解一个线性系统

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