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摘 要

：求解不定积分主要有换元法和分部积分法.然而，对有些困难的不定积分还需在这两种主要方法的基础上利用递推的方法才能得到最终结果.本文将系统总结和探讨适合应用递推方法求解的不定积分的类型，求解的方法和技巧.

关键词：不定积分，递推公式法

Abstract: There change to solve indefinite integral element method and integration by parts, however, difficult for some indefinite integrals needed on the basis of the two main methods of the use of recursive methods to get the final result. Article will summarize and discuss appropriate system type indefinite integral method for solving recursive application of methods and techniques for solving.

Keywords: The indefinite integral, recursive formula method

目 录

1引言 ……………………………………………………………………………………………………4

2一般有理函数不定积分的递推公式

2.1关于 这一类有理函数的递推公式 …………………………4

2.2 的递推公式 ………………………………………………………5

3三角有理函数不定积分的递推公式

3.1 的递推公式 ………………………………………………………………6

3.2 的递推公式 …………………………………………………………7

3.3 的递推公式 ……………………………………………9

3.4 ，…的递推公式 ……………………………………………10

4 关于指数函数和对数函数的不定积分的递推公式 ……………………………11

5 的递推公式 ……………………………………………………11

结论 ……………………………………………………………………………………………………13

参考文献 ……………………………………………………………………………………………14

致谢 ……………………………………………………………………………………………………15

1 引言

函数在区间上的所有原函数称为在上的不定积分，记作

，

其中称为积分号，为被积表达式，为积分变量．

不定积分的几何意义：

若是的一个原函数，则称的图像

为的一条积分曲线。于是的不定积分在

几何上表示的某一积分曲线沿纵轴方向

任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族(图1) (图1)

若在每一条积分曲线上横坐标相同的点出做切线，

则这些切线互相平行。

不定积分是微积分中非常关键的内容之一，也是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，可以进一步巩固所学的及其它相关的数学知识.求解不定积分的一些常规方法有很多种，比如换元法和分部积分法，求不定积分的方法在本质上是依合理的方法做推测和尝试的手法.要使这种手法容易完成，全依赖我们对各类函数的导数的熟悉和对被积函数施行变换的技巧.而对被积函数进行变换的技巧来自于我们在平时学习中多练﹑多总结﹑多归纳.总结、归纳不同类型的不定积分依其所具有的特征进行积分的技巧.关于不定积分的方法和技巧的文献也屡见不鲜.例如[[3]-7].

在这篇文章中，我们系统总结和探讨适合应用递推方法求解的不定积分的类型，递推的方法和技巧.

2 一般有理函数不定积分的递推公式

2.1 关于 这一类有理函数的递推公式

对于这类有理函数的不定积分，不能直接拿定义积分，而是要先用分部积分求出它的递推公式，然后用递推公式带入求解.

当()时

所以

因此

最后得出递推公式

（）

我们看一个的情况 例如求

把4看作，那么就可以直接带入上面的公式有

.

2.2 的递推公式

在不定积分的计算中，我们经常遇到如， …这类问题，

实际上这些问题都可以归纳为 (为自然数，,)这种

类型的.如果有了通用的公式，计算就会快捷很多.

整理之后得

(为自然数，,).

3 三角有理函数的递推公式

3.1 的递推公式

设，则

其中

所以

上述公式作为递推公式，由得

所以

即

.

3.2 的递推公式

对于这个积分我们可以设 ，对其求导得:

即

.

两边求积

,

最后得出

.

所以

.

从上面的求解过程可以看出，用这种方法需要经过几次变化，而直接分部积分的话就不需要转换.

由于

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