论文总字数：5577字

摘 要

关键词：闭区间套定理，证明，技巧.

Abstract：Combined with the example, elaborate and explore the characteristics suitable for closed nested interval theorem to prove the problem, conclude the application of closed nested interval theorem proving techniques and rules of proposition systematically.

Key words：The closed interval theorem，proof，technique.

目录

1引言 4

2利用闭区间套定理证明命题的经典方法 4

2.1柯西收敛准则的证明 4

2.2聚点定理的证明 5

3利用闭区间套定理证明命题的技巧和规律 6

3.1 寻找一个具有某种性质的点(数) 6

3.2 由某一已知的局部性质去证明某一整体性质 10

结 论 12

参 考 文 献 13

致 谢 14

1引言

实数系的连续性是分析学的基础，对于我们学习的极限论、微积分乃至整个分析学具有无比的重要性.实数系的连续性，从几何角度理解就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，但是从分析学的角度阐述，实数系的连续性有多种表述方式且彼此等价，因此可以被相互推证.在大部分的文献中都是采用循环证明的，本文是以闭区间套定理为基点来证明其他定理.实数系的连续性是区别于有理数系的一个特征性质，作为实数系连续性表述之一的闭区间套定理在分析数学中无疑起着非常重要的作用.闭区间定理是指：

如果一列闭区间，，…，…满足下列条件：

(1)

(2) .

则存在唯一的一个数属于所有闭区间 .

闭区间套定理是整个数学分析的难点内容，用其证明命题更是抽象难懂，叫人“无从下手”.为了对闭区间套定理有更深的理解和认识，本文总结和探讨利用闭区间套定理证明命题的技巧和规律.

2利用闭区间套定理证明命题的经典方法

本节我们先来回顾一下我们的教材数学分析用闭区间套定理证明柯西收敛准则、聚点定理的经典方法.

2.1柯西收敛准则的证明

柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：对任给的,存在正整数,使得当时有.

证 按假设，对任给的，存在，使得对一切有，即在区间内含有中几乎所有的项（这里及以下，为叙述简单起见，我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所有项”）.

据此，令，则存在，在区间内含有中几乎所有的项.记这个区间为.

再令，即存在，在区间内含有中几乎所有的项.记，它也含有中几乎所有的项，且满足及.继续依次令，照以上方法得一闭区间列，其中每个区间都含有中几乎所有的项，且满足，，即是区间套.由区间套定理，存在唯一的一个数.

现在证明数就是数列的极限.事实上，由区间套定理的推论，对任给的，存在，使得当时有.因此在内含有中除有限项外的所有项，这就证得.

2.2聚点定理的证明

聚点定义：设为数轴上的点集，为定点（它可以属于，也可以不属于）.若的任何邻域内都含有中无穷多个点，则称为点集的一个聚点.

例如，点集有两个聚点；点集只有一个聚点，又若为开区间，则内每一点以及端点都是的聚点；而正整数集没有聚点，任何有限数集也没有聚点.

聚点定理：实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.

证 因为有界点集，故存在，使得，记.

现将等分为两个两个子区间，因为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点，记此子区间，则，且.再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为，则，且.将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足，，即是区间套，且其中每一个闭区间都含有中无穷多个点.

由区间套定理，存在唯一的一点，于是由区间套定理的推论，对任给的，存在，当时有.从而内含有中的无穷多个点，有聚点定义可知，为的一个聚点.

3利用闭区间套定理证明命题的技巧和规律

通过上节教材上用闭区间套定理证明柯西收敛准则和聚点定理的经典方法，我们可以总结得这一经典方法如下：

3.1 寻找一个具有某种性质的点(数)

步骤: (1) 找一个闭区间，使它具有某一与相应的性质；

(2) 证明将等分为两个闭区间，则至少有一个闭区间也具有性质；

(3) 继续等分得到一系列闭区间,它们满足闭区间套定理的两个条件，同时，每一个闭区间都具有性质，所以，存在唯一的一个数属于所有闭区间；

(4) 证明具有性质.

例1 证明确界定理

确界定理：非空有上(下)界的数集必有唯一的上(下)确界.

分析:我们只去证明非空有上界的数集必有唯一的上确界，并且，只证明上确界的存在性，而把唯一性的证明删略. 关于存在性的证明，就是让我们去找一个数，使满足上确界定义中的两个条件，这两个条件的几何意义是：

一是在的右侧没有集的点；

二是在的临近必有集的点（或）.

这两个条件就是所具有的性质.若闭区间包含， 则闭区间具有下述性质：

(i) 的右侧没有集的点；

(ii）中至少含有集的一个点.

我们把这个性质看做性质.

证 首先任取集的一个上界，且.再任取一点.显然.作闭区间，则具有性质.

其次将等分为两个区间和.区间满足条件(i)，若至少含有集的一点，则取.假若不然，即，则的右侧没有集的点.由于至少，故这时取.因此将等分为两个闭区间，必定至少有一个闭区间具有性质.这样的手续一直进行下去，得到一个闭区间列

，，…，… .

它满足闭区间套定理的两个条件：

(1)

(2) .

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：5577字