论文总字数：6765字

摘 要

本文主要介绍几种常见的非线性方程数值求解的计算方法,主要方法有二分法、迭代法、弦截法等.总体思路是根据方程,逐步缩小有根区间,或者逐步求出根的近似解,使之满足精度要求.

关键词: 非线性方程,二分法,迭代法,弦截法

Abstract: This paper mainly introduces several common calculation methods of numerical solution of nonlinear equation, the main methods are dichotomy, iterative method, secant method, etc. General idea is: according to the equation, gradually narrowing rooted interval, or to find the approximate solution of the root, step by step to meet the precision requirement.

Keywords: nonlinear equation, dichotomy, iterative method, secant method

目 录

0 引言 ……………………………………………………………………………4

1非线性方程的概念……………………………………………………………4

2非线性方程的数值求解方法…………………………………………………4

2.1二分法………………………………………………………………………5

2.2迭代法………………………………………………………………………8

2.3 牛顿-拉夫逊法……………………………………………………………11

2.4弦截法………………………………………………………………………12

结论………………………………………………………………………………14

参考文献…………………………………………………………………………15

致谢………………………………………………………………………………16

0 引言

在不断变化发展的自然界和人类社会中,非线性方程有着广泛的应用,它可以精确深刻地描述事物的内部规律,很多熟悉的线性模型也是在一定条件下由非线性方程简化而来的.

非线性方程的数值求解方法在实际生活中也有着重要的作用,随着计算机的发展和应用,越来越多的领域涉及到非线性方程的数值求解问题.例如,非线性最优化和非线性规划问题、非线性力学问题、动力系统等.因此,研究非线性方程的求解方法有着非常重要的实际意义.

1 非线性方程的概念

在科学技术和工程设计的数学问题中,常常会遇到求解函数方程

,

其中是非线性函数,方程(1)的解称为方程的根,又称为函数的零点.

当函数为多项式,即

,

时,方程(1)为代数多项式方程.当函数中含有指数函数、三角函数或者其他超越函数时,方程(1)为超越方程.例如方程:

, ,

前者是一个超越方程,后者是一个5次代数方程.

若方程可以分解为,其中为正整数且,则为函数的重零点,或者称为方程的重根.当时,为单根,当时, 为重根.

若存在阶导数,则是方程的重根,当且仅当

.

2 非线性方程的数值求解方法

非线性方程求解通常分为两步:一是对根的搜索,分析计算方程存在几个根,并找出每个根所对应的区间；二是对根的精确化,逐步缩小有根区间,求得满足精度要求的近似根.

对于方程根的搜索,等价于确定根的大概位置,也就是根的存在区间,逐步找到有唯一根的区间.

对于一般的非线性方程(1),根的搜索方法有以下几种:

（1）定步长搜索法.在某一区间上,用适当的步长,考察的符号,当连续且时,区间为有根区间,如果在这个区间中的符号不变,那么在该区间中有唯一根.

（2）解析法.根据函数的介值定理、连续性和单调性等,确定有根区间以及有唯一根的区间.

（3）图解法.对于方程根的求解,可以转化为求两曲线交点的横坐标.

例如,方程,等价于,在同一直角坐标系中画出和的图（如图1所示）.由图可知,两条曲线的交点的横坐标即为方程的根,.

图1

（4）近似方程法.例如,求解方程的根,近似于求解方程 的根.

对于方程根的精确化,主要有以下几种方法:二分法,迭代法,牛顿-拉夫逊法和弦截法.

2.1 二分法

在求解非线性方程近似根的方法中,二分法是最直观、最简单的方法.二分法以连续函数的介值定理为基础.

设在区间上连续,且,则由连续函数的性质可知,方程在区间中必定存在实数根.区间为有根区间.为叙述方便起见,假设方程 在内有惟一的实根.

二分法的基本思想是:先确定有根区间,用对分区间的方法,判断分点处函数的符号,逐步缩小有根区间,直到有根区间足够小,求出满足题目精度要求的近似根.

具体算法如下:

（1）把区间二等分,中点；

若,则为的根,即实根,计算可结束；否则,和两式中,有且仅有一式成立.

若,则,令,；若,则,令 ,.区间的长度是原有根区间的一半.

图2

（2）在区间上重复以上的二分步骤,得到一个新的中点.若,则

可推出新的有根区间,其长度是区间的一半；

（3）如此反复上述步骤,若,则可得到一系列有根区间:

其中,每一个区间的长度都是前一个区间长度的一半,即

,

当时,有. 因此,若无限地进行上述二分步骤,则有根区间必定缩于一点,该点即为方程的实根.

令为每次二分后的有根区间的中点,则可取作为方程实根的

近似值,由此可以得到一个近似根序列: ,根据上述性质可知:.

在实际的运算过程中,二分法不需要也不可能无限次的循环下去,只需要求得满足题目精度要求的近似值即可.

若取最后一个有根区间的中点作为方程根的近似值,则有误差估

计式:

,

对于题目所给定的精度要求,结束二分过程的方法有以下两种:

① 当时,一定有,此时二分计算可结束,令；

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