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摘 要

行列式是高等代数课程里重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用．本文将几种不同类型行列式进行归纳总结，并且针对各种行列式的特点，结合行列式的定义和性质探索出相应的方法进行计算，最后将用C语言程序得出的结果与数学计算得出的结果进行比对，验证其准确性．

关键词：三角形行列式，对角形行列式，范德蒙行列式

Abstract：Determinant is one of the most important content in advanced algebra.It is widely used in mathematics.In this paper,we induce the calculation methods of different types of determinants,then we calculate the determinant according to the definition and character.At the last,we compare with the C language program results and mathematic calculated results to verify the accuracy of it.

Keywords：triangular determinant,diagonal determinant,vander mongolia determinant

目 录

1 引言…………………………………………………………………………………… 4

2 行列式的概念……………………………………………………………………… 4

3 行列式的形式……………………………………………………………………… 4

3.1 行列式的基本形式……………………………………………………………… 4

3.2 行列式的延伸形式……………………………………………………………… 5

4 行列式解题方法…………………………………………………………………… 6

4.1　化三角形法……………………………………………………………………… 6

4.2　递推关系法…………………………………………………………………… 9

4.3　提取公因式法…………………………………………………………………… 9

4.4　特殊公式法……………………………………………………………………… 10

4.5　裂项法…………………………………………………………………………… 11

4.6　升阶法…………………………………………………………………………… 12

4.7　缺损补足法……………………………………………………………………… 12

4.8　特征根法………………………………………………………………………… 13

4.9　数学归纳法……………………………………………………………………… 13

5 例题及相关程序……………………………………………………………………14

结论 ……………………………………………………………………………………… 25

参考文献……………………………………………………………………………………26

致谢 ………………………………………………………………………………………27

1 引言

行列式^[1,2]是多门数学分支学科的一个工具，在实际生活以及学术研究中给我们带来了许多方便，在我们学习高等代数时，书中只介绍了几种较简单的行列式计算方法，但是在遇到比较复杂或技巧性比较强的行列式时，只局限于书上的几种方法，那解题就有点麻烦．本文讨论了行列式计算的若干方法，针对不同的行列式选择相对简单的计算方法，来提高解题的效率．

在讨论行列式计算的过程中，我们需要将所给出的一系列行列式按照一定的规律进行分类，有些规律不太明显的行列式我们可以通过一些变换使它成为相关类型的行列式．针对不同种类行列式，探索出系统的方法或者公式计算出结果．

编写相应的计算机C语言程序时，通过机器的运行得出答案，并与之前数学方法得出的结果进行比较，验证所研究的方法是否正确．从而使各种科学计算在自动化上进行应用．

2 行列式的概念

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中．十七世纪晚期，开始使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式．十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究．十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善．

n阶行列式的定义：由个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和．记作，简记作．数称为行列式的元素，其中为自然数的一个排列，为这个排列的逆序数．

其中，主对角线为从左上角到右下角所在直线；副对角线为从右上角到左下角所在直线．

3 行列式的形式

3.1 行列式的基本形式

（1）对角形行列式^[3,4]（主对角线以外的元素全为零的行列式）

形如

（2）上（下）三角形行列式^[3,4]（主对角线以下（上）元素全为零的行列式）

形如

3.2 行列式的延伸形式

（1）“两条线”行列式（非零元素分布在两条线上）

形如；等

（2）“三条线”行列式

①“三对角”行列式

形如

②“爪型”行列式

形如

③ Hessenberg 型

形如

（3）各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式

形如

（4）除主对角线外其余元素全相同或成比例

形如

（5）主对角线上下元素不同，但是上半（下半）元素都相同

形如

4 行列式解题方法

4.1 化三角形法

化三角形法^[5]是将原来的行列式化为上（下）三角形行列式计算的一种方法．这是计算行列式的重要方法之一．因为利用行列式的定义和性质容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的值．
  原则上，所有行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式．但对于阶数比较高的行列式，在一般情况下，计算往往较麻烦．因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作某种变形，再将其化为上（下）三角行列式．

例1 计算下列行列式的值．

解 这是一个爪型的行列式，第一行元素除了第一个外都是1，第一列元素除了第一个外都是1，对角线元素是各不相同n个数字．用第一列元素去减去第二列元素的，再用第一列元素去减去第三列元素的，依次到用第一列元素去减去最后一列元素的．得到一个新的行列式，由n阶行列式计算的定义得出：该行列式结果为．

4.2 递推关系法

利用行列式的性质，把一个n阶行列式化简为结构相同的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-2阶等）的关系式，这种关系式被称为递推关系式．根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如一阶或二阶行列式）的结果，便可通过递推求得所给n阶行列式的值，这种行列式的计算方法称为递推法^[6]．

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