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摘 要

数值积分是数值分析课程中的重要理论与方法．在数学分析中，有些被积函数虽存在原函数，但其原函数并不能用初等函数表示出来，在这种情况下的定积分就不能用牛顿-莱布尼茨公式计算．本文主要总结了如何用牛顿-柯特斯公式、高斯求积公式、龙贝格求积公式等求解数值积分问题，在介绍牛顿-柯特斯公式时，首先引入公式的一般形式，再求出其特殊形式．其次为提高精度，采取把积分区间分成子区间的方法（通常是等分的），再在每个子区间上用低阶求积公式，这种复合求积法．对于积分收敛的问题，也给出了相关的结论．

关键词：数值积分，求积公式，收敛，复合求积法

Abstract：Numerical integration is one of the most important theory and methods in the course of numerical analysis．In mathematical theory，some integrand functions have primitive functions，which cannot be expressed through elementary functions，though．Under such circumstances，definite integral cannot be calculated with New-Leibniz formula，In this paper，conclude some formula，such as Newton-Cotes formula，Romberg formula，Gauss formula to solve the numerical integration problems．When we introduce Newton-Cotes formula ，we introduce common form firstly，then introduce special form ．For improving the accuracy of integral，we divide the integral interval into several intervals and use low order quadrature formula．Then we introduce compound trapezoid formula and compound Simpson formula．To solve the problem of integral convergence，we introduce some related conclusion．

Keywords: numerical　integration，quadrature formula，convergence，composite quadrature formula

目 录

1 引言 ………………………………………………………………………… 4

2 数值积分的基本思想 …………………………………………………… 4

3 积分方法 …………………………………………………………………… 5

3.1 牛顿-柯特斯公式 ………………………………………………………5

3.1.1 梯形公式和辛普森公式 …………………………………………… 5

3.1.2 复合梯形公式和复合辛普森公式 …………………………………6

3.2 龙贝格求积公式 …………………………………………………………7

3.3 自适应积分方法 …………………………………………………………8

结论 ……………………………………………………………………………11

参考文献……………………………………………………………………… 12

致谢 ……………………………………………………………………………13

1 引言

数值积分是解决数学问题最常用的方法之一．在数值分析中，是计算定积分数值的方法和理论．对于给定的原函数，往往它的定积分不一定能准确的求出，用已知的求积公式无法得到准确值，而数值积分是利用积分中值定理，借助数值逼近的方法求出近似值．

构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式．特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯特斯公式，例如梯形公式与辛普森公式就是最基本的近似公式，但它们的精度较差．龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜应用龙贝格求积公式．当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分．数值积分还是微分方程数值解法的重要依据．许多重要公式都可以用数值积分方程推导出．

通过多种数值积分方法，比较计算复杂度、计算精度和收敛速度等多种角度，找出在实际活动中的最佳方法．

2 数值积分的基本思想

对于一般的被积函数，可由人们所熟悉的微积分基本定理，对于积分，只要找到被积函数的原函数，便可以由牛顿-莱布尼茨公式

求出．对于一些复杂的被积函数，诸如，等，其原函数不能用初等函数表达，故不能用上述公式直接计算得到．

积分中值定理告诉我们，在积分区间内存在一点，使得

成立．就是说，底为而高为的矩形面积恰等于所求曲面梯形的面积．

我们将称为区间上的平均高度，平均高度是由两端点“高度”与的算术平均值得到，这样导出的求积公式就是

这就是梯形公式．

如果改用区间中点的“高度”近似地取代平均高度，这样导出的求积公式就是

其中称为求积节点；称为求积系数，或称伴随节点的权，这就是机械求积公式．

3 积分方法

3．1 牛顿-柯特斯公式

设将积分区间划分为等分，步长，选取等距节点构造出的插值型求积公式

称为牛顿-柯特斯公式，式中称为柯特斯系数，且

．

3．1．1 梯形公式和辛普森公式

对于上式的牛顿-柯特斯公式，容易得到相关系数

当时，

，

此时求积公式

=

就是梯形公式．

当时，

，

，

，

此时求积公式

=

就是辛普森公式．

特别地，当时，

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