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摘 要

本文主要给出了两种求解方法，是传统的数学方法：不动点迭代法和牛顿法．传统方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性．

本文将主要对上述常用的方法进行比较研究，并通过数值实例说明其精度，给出如何选择合适的数值方法．

关键词：非线性方程组，迭代法，牛顿法

Abstract：This paper gives two kinds of evaluation methods, the traditional mathematical methods: fixed point iteration method and Newton method. The traditional method has the advantage of high calculation precision, the disadvantage is that is sensitive to the initial iterative value, at the same time, the traditional numerical method will also encounter calculation function of derivative and inverse matrix problem, for some derivative does not exist or derivative is hard to find the equation of the traditional numerical method has certain limitations.

This article will focus on a comparison of the commonly used method, and numerical example is given to illustrate its accuracy, how to choose the suitable numerical method.

Keywords： nonlinear system of equations,Iterative method,Newton"s method

目 录

1 前言………………………………………………………………………………………………………4

2 非线性方程组的相关概念………………………………………………………………………4

2.1 非线性与线性的区别……………………………………………………………………………4

2.2 非线性方程组的概念……………………………………………………………………………4

3 不动点迭代法…………………………………………………………………………………………5

3.1 不动点迭代法的基本定义……………………………………………………………………5

3.2 不动点迭代法的相关定理……………………………………………………………………5

3.3 数值实例……………………………………………………………………………………………6

4 牛顿迭代法……………………………………………………………………………………………8

4.1 迭代法………………………………………………………………………………………8

4.2 简化迭代法………………………………………………………………………………9

4.3 修正迭代法………………………………………………………………………………9

5 两种迭代方法比较…………………………………………………………………………………11

结论…………………………………………………………………………………………………………14

参考文献……………………………………………………………………………………………………15

致谢…………………………………………………………………………………………………………16

1 前言

非线性方程组的数值解法是计算数学的一个重要内容，在实际生活中应用广泛，尤其是在解决各种非线性问题的科学计算中更突显出它的重要性，例如计算生物化学，石油地质勘探，控制领域和轨道设计，气象资料的图像分析，飞机、汽车及轮船的外形设计，还有一些高科技研究等．因此，在近年来，有关这一课题的研究比较热门，不但各种经典的迭代法有了新的发展，而且相继出现了很多新的数值方法．

在科学研究和科学计算中，常常会碰到非线性方程组求解问题，非线性方程组的解一般不能解析求出．所以数值解法显得非常重要，而数值解法在实际中的实现则更为重要．针对我们所学习的知识，可以归纳为传统数学解法和进化解法，而传统数学解法又可以细分为不动点迭代法和牛顿法，进化解法也可以分为遗传算法和差分进化算法．本文通过对几种常用解法，例如：不动点迭代法，牛顿法的思想进行探讨，其中牛顿法又分为简化牛顿法和修正牛顿法，来进行分析比较，从中更直观的了解这些解法的优势与不足．

2 非线性方程组的相关概念

2.1 非线性与线性的区别

一般地说，线性关系往往只有一种，但是非线性的关系就多种多样，数不胜数．简单地来说，线性就是非线性的一种特例，它即是简单的比例关系，其中各部分的贡献都是相互独立的；然而非线性则是对这种简单关系的偏离，各部分之间都会彼此影响，发生耦合效应（联动效应在群体心理学中，人们把群体中两个或以上的个体通过相互作用而彼此影响从而联合起来产生增力的现象），这是产生非线性问题的复杂性和多样性的根本原因．正因为如此，非线性系统中各种因素的独立性才会丧失了，即整体不是简单的部分之和，叠加原理失效，非线性方程的两个解之和就不再是原方程的解．因此，对于非线性问题只能具体问题具体分析，相较于线性解起来就比较的复杂．

2.2 非线性方程组的概念

个变量个方程的非线性方程组的一般形式为

其中是定义在维空间中开域上的实值函数，若用向量记号，令

则上述方程组可变为，这里表示定义在中开域上的非线性映象，记为，如果存在，使得，那么称为该方程组的近似解．

伴随着科学技术的发展和电子计算机的广泛应用，非线性方程组涉及的领域日益增加，求解形如上述非线性方程组的问题越来越多地被提出来了，例如非线性有限元问题、断裂问题、弹塑性问题及其他一些非线性力学问题、电路问题、电力系统计算问题，还有非线性规划问题等．

求解上述非线性方程组的问题，已经引起了人们广泛的重视．早在七十年代以前，在理论和数值解法上都对它做了许多的研究，从与的书与文献中，已经做了较为全面的介绍．然而，由于在求解此类问题上，无论是在理论还是在解法上都不如线性方程成熟和有效．因此，对非线性方程组解的存在性以及在寻找有效的数值方法中均存在许多的问题，需要进一步的研究与解决．

3 不动点迭代法

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