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摘 要

本文主要分析了带反馈的MMPP(2)/G/1植物病虫害防治系统的效能，并利用排队论相关知识给出了模型的平稳条件、稳态队长、平均忙期长度、及在忙期内防治完的害虫数等数量指标.

关键词：排队系统，母函数，队长，忙期

Abstract:In this paper,we mainly introduced the effectiveness of MMPP(2)/G/1 controlling system about plant disease and pets with feedback, using the knowledge of queuing theory, we gave some indicators including the steady condition,the mean busy period lengths and the average amount of pests being controlled in the busy period and etc.

Keywords: queuing system,generating function,queue length, busy period

目 录

1 引言……………………………………………………………………………………………………… 4

2 预备知识…………………………………………………………………………………………………4

2.1 MMPP(2)简介…………………………………………………………………………………………4

2.2 母函数与拉普拉斯变换………………………………………………………………………5

2.3嵌入马尔科夫链……………………………………………………………………………………5

3 稳态指标…………………………………………………………………………………………………6

3.1模型假设………………………………………………………………………………………………6

3.2 平稳条件……………………………………………………………………………………………7

3.3 一个害虫的防治时间内到达的平均害虫数……………………………………………7

3.4 系统的平均忙期长度及在忙期时间内防治的平均害虫数……………………10

结论及展望………………………………………………………………………………………………15

参考文献…………………………………………………………………………………………………16

致谢…………………………………………………………………………………………………………17

1 引言

反馈是计算机通讯网络和服务行业中十分常见的现象，对于正在接受服务的顾客来说，在其被服务后，有的直接离开系统永不再来，而有的顾客会继续回到系统中等待下一次服务.比较常见的有信息注册系统、考试成绩查询系统等.由于反馈排队模型的广泛存在，长久以来得到了人们大量的研究^[1-4].

MMPP是Markov调制Poisson过程，它是Markov arrive process(MAP)的特例，人们习惯用MMPP(2)(调制用的Markov链只有两个状态），去描述话音流，因为此时模型只四个参数，较易确定^[5].而对经典MMPP(2)/G/1排队系统引入反馈策略，得到一个在植物病虫害防治系统中有实际应用价值的排队模型，并将在此基础上讨论系统的数量指标，具有一定的实际意义.

2 预备知识

2.1 MMPP(2)介绍

Markov调制Poisson过程(MMPP)是一个双随机Poisson过程，这种Poisson过程的强度是由一个Markov链调制着，当链的状态为时，即相位为，Poisson过程的强度为，这里是调制链的状态数^[4]．因此MMPP是由用以调制的Markov链的无穷小生成矩阵(即Q-矩阵)和Poisson过程的强度矩阵所唯一确定的.当时，便为MMPP(2).

令为在内MMPP(2)的到达数，则由参考文献^[5]知分布的母函数为

. （2.1）

. (2.2)

. (2.3) . (2.4)

其中，为在z=1处的一、二阶导数.

2.2 母函数与拉普拉斯变换^[6]

定义1 设是取非负整数值的离散型随机变量，其概率分布为

，

则

(2.5)

称为的母函数.母函数对任何取非负整数值的随机变量都存在.

定义2 设为随机变量的分布函数，则定义

(2.6)

称为的LST变换.并记为，其中s为复变数.

2.3 嵌入马尔科夫链^[7]

定义3 设是一个随机过程，状态空间，离散参数，如果对于任意的，以及任意状态，都有

则称是一个离散时间参数的马尔科夫链.

定义4 设是离散时间参数随机变量，状态空间，如果对于任意的非负整数，以及任意及,有

则称为连续时间参数的马尔科夫链.

对于非马尔科夫过程的排队系统，通过嵌入Markov链方法利用再生点能更好的求解，文献^[1,7]对此做了详细论述.

3 稳态指标

3.1 模型假设

以下是系统的模型假设

(1)害虫按MMPP(2)到达，调制Markov链的无穷小生成矩阵为，平稳概率分布为，Poisson过程的强度矩阵，并记，,害虫的平均到达率为.

(2)假定对各个害虫的防治时间序列是随机变量序列，且，L，与同分布，分布函数为，，平均服务时间为

,.

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