文 献 综 述

压缩感知中字典构造算法研究

传统的信号获取技术是一种基于信号波形的信号获取技术，一般需要经过A/ D采样与压缩两个环节。其中A/ D采样是基于经典的奈奎斯特采样理论，即采样速率必须大于信号带宽的两倍才能保证无失真采样；压缩是指丢弃那些采样值较小且不重要的采样数据。通常，经过压缩后得到的数据相比A/ D采样得到的数据要少得多，这意味着在A/ D采样环节中存在着极大的”浪费”。换句话说，有大量的硬件资源将被消耗用来采集那些最终将被丢弃的数据。这种”浪费”引发了一个很自然的问题，是否有可能将这两个环节合并，直接对信号中的有用数据采样。如果可行，在信号的获取环节硬件的开销将大为减少，或者利用低性能的硬件获取更高性能。

近年来引起人们广泛关注的压缩感知(Compressed Sensing, CS) 理论从正面回了这一问题，并且得到了一系列鼓舞人心的成果。CS理论是基于信号”信息”的一种采样技术,是对信号更为本质的描述。

一、压缩感知基础理论

尽管压缩感知理论最初的提出为克服传统信号处理中对于奈奎斯特采样要求的限制，但是它与传统采样定理有所不同。首先，传统采样定理关注的对象是无限长的连续信号，而压缩感知理论描述的是有限维观测向量空间的向量；其次，传统采样理论是通过均匀采样（在很少情况下也采用非均匀采样）获取数据，压缩感知则通过计算信号与一个观测函数之间的内积获得观测数据；再次，传统采样恢复是通过对采样数据的Sinc函数线性内插获得（在不均匀采样下不再是线性内插,而是非线性的插值恢复），压缩感知采用的则是从线性观测数据中通过求解一个高度非线性的优化问题恢复信号的方法。

（一）压缩感知的数学模型

若将维实信号在某组正交基 (为维列向量)下进行展开即:

(1)

其中展开系数。写成矩阵的形式，可以得到：