目的及意义：

积分方程是未知函数出现在积分号内的方程，与微分方程对应，很多数学物理问题都需要转换成积分方程或微分方程进行求解。数学、工程技术和自然科学的许多领域，例如在系统识别、流体力学和弹性力学、信号重构与图像恢复、电磁场理论与静电学、地球物理勘探等方面都将归结为求解积分方程的问题，正是因为积分方程的这种特点，积分方程得到了快速发展，并成为了众多学者研究积分方程的一个重要方向。 关于积分方程理论的发展，始终和数学物理问题的研究有着紧密的联系，它在物理、经济、工程等方面有着广泛的应用。通常认为，最早应用积分方程理论的是阿贝尔(Abel)，他在 1823 年研究力学问题时提出了阿贝尔方程。在此之前，拉普拉斯（Laplace）于 1782年在数学物理问题中研究拉普拉斯变换的逆变换与傅里叶（Fourier）在 1811 年研究傅里叶变换反演问题上都要求解第一类积分方程。

积分方程是近代数学研究中的一个重要分支，如计算数学、微分方程、位势理论、随机分析和泛函分析等都与积分方程有着紧密的联系。关于积分方程的建立，是在十九世纪末由 Fredholm 和 Volterra 建立了两种类型的积分方程理论，之后，随着泛函分析理论的完善和成熟，人们对于积分方程的研究置于抽象空间的框架下，使积分方程的理论更加成熟、应用更加广泛，为积分方程的研究奠定了基础。

由于力学、几何、物理等的需要，数学家们把主要工作集中在积分方程的求解上，并且得到了重大发展，但后来发现大多数方程都得不到通解，或是通解用初等函数不能进行表示。

一方面，在力学和物理学上所提出的积分方程和微分方程问题，大多要求某种附加条件的特解，即所谓定解问题的解，这样就使得人们改变了以前的想法，不去计算通解，而从事定解问题的研究。

另一方面，随着自然科学的发展，尤其是很多物理问题如平衡理论，位势理论，热传导理论都可以转化成求解积分方程或求解积分微分方程，而这类积分方程在数学物理力和学中所起的作用非常大。在实际应用中，近似解比解析解有着更重要的用途；同时，对于很多积分方程和积分微分方程，只能在极少的情形下才能求得解析解。这样就显出研究积分方程和积分微分方程数值解的必要性。因而，关于积分方程数值解的研究也必然会影响与该学相关的其他学科如函数逼近理论、Fourier 分析、计算理论、算子理论等的发展。近年来，关于求解积分方程的数值方法方法有了很大的进展，各种方法层出不穷，操作越来越简单，精度也越来越高。总而言之，科学领域内的许多实际问题，如，物理，经济，工程等方面一般很难求出其精确解的，而应用积分方程数值解法则可以在误差可接受的范围内求出相对精确的数值解。

国内外研究现状：

由于积分方程有着十分广泛的应用背景，这使得人们对它的研究仍有着相当浓厚的兴趣。对于单个的第一类、第二类 Freholm 和 Volterra 积分方程，提出了各种各样的求解方法，但是求解一些混合的积分方程，如：Freholm-Volterra 积分方程、积分微分方程的方法却不是特别多。因此，致力于积分方程的研究得到一些可行的数值解法是很有必要的。

对于解一维 Fredholm 积分方程和 Volterra 积分方程，国内外众多学者对不同类型的积分方程应用了不同的处理方法。Solan运用迭代的方法得到了非光滑的第二类 Fredholm积分方程的数值解。石军，林群等对非光滑的第二类 Fredholm 积分方程的配置解进行了计算。赵华敏、谢远涵等利用 Banach 压缩映射原理计算出了线性 Fredholm 积分方程的近似解。夏爱生、杨凤翔等用有限元算法解得了第二类Fredholm 积分方程的数值解。霍春雷等采用小波矩阵变换法使第二类 Fredholm 积分方程计算更加迅速，并提高了数值精度。李功胜、张瑞等获采用优化正则化方法得出了第一类 Fredholm 积分方程的数值解。而对 Volterra 积分方程的求解，韩国强等采用迭代配置和渐近展开得到第二类 Volterra积分方程的数值解；Brunner 给出了 Volterra 积分方程的迭代配置法；丁皓江、王惠明等采用迭代方法求得了第二类Volterra 积分方程在压电弹性力学中的数值解，并对较大步长仍有足够准确的精度；M. G. I.Shaidurow 采用 Nystrom 算法给出了Volterra 积分方程的数值解；刘英等依靠 Gauss 型求积公式、逐段积分逼近和最小二乘拟合外推的方法得到了第二类弱奇异 Volterra 积分方程的数值解；利用高阶插值方法胡齐芽等得到了一些奇异Volterra 型积分方程的近似解。Kauthen曾用泰勒级数求解 Fredholm-Volterra 积分方程；Yalsinbas 和 Sezer也用泰勒级数获取了高阶线性 Fredholm-Volterra 积分微分方程的近似解；Yalsinbas 又进一步的解决了非线性 Fredholm-Volterra 积分方程的近似解；Yusufoglu 和 Erbas基于插值的方法求出了线性 Fredholm-Volterra 积分方程的数值解；S. J. Majeed 和 H. H. Omran利用复化梯形和复化辛普森离散的方法求得了线性Fredholm-Volterra 积分方程数值解。对于积分微分方程的数值解法，也有许多学者做过相关的研究，近几年来比较好的研究有：2009 年，E.Babolian，Z.Masouri和 S.Hatamzadeh-Varmazyar利用正交三角函数对此方程进行离散，最后得到了一个计算量不大的数值解法，但是精度却不高；2011年，K.Maleknejad，B.Basirat和 E.Hashemizadeh利用混合勒让德多项式法对方程进行离散，得到一种精度比较高但计算量太大的数值求解方法；2011 年，K. Maleknejad 和E.Naja采用逆线性化法对方程进行离散，最后得到一个简单的计算量少的数值解法。

2. 研究的基本内容与方案

积分方程的求解是数学研究领域内的一个重要分支，目前广泛应用于各类工程领域中，并且在很多实际应用中，应用各种离散方法将积分方程化一个规模较大的线性方程组Ax=B 进行求解。针对积分方程的特点，分别以第二类 Fredholm 积分方程、Volterra 积分方程、线性和非线性 Fredholm-Volterra 积分方程以及积分微分方程为具体数学模型，对其数值解进行细致的研究。主要内容包括以下几个部分有：