国内外研究现状

样条函数是具有一定光滑性的分段或分片定义的多项式函数。最早开始于上世纪40年代，其标志性的工作是Schoenberg在1946年发表的文章，由此较为系统地建立了一元样条函数的理论基础。该文不仅仅是样条发展史上的一个重要里程碑，而且其中的思想和技巧对近代样条理论与应用仍具有指导意义。随后，Curry和Schoenberg于1947年提出B-样条的理论，并于1966年发表相关文献。此后de Boor、Cox、Cohen等对B-样条理论都做出了积极的贡献。70年代左右，G.Birkholl与Carl de Boor等人研究和建立了一系列的笛卡尔积形式的多元样条理论，此方法有一定的应用价值，但是也有非常大的局限性，其中一个特点就是网格的特殊要求。在国内，学者王仁宏利用基于函数论与代数几何的方法，建立了任意剖分下多元样条的基本理论框架，并提出了光滑余因子协调法，把多元样条转化为与之等价的代数问题。国外的一些学者，如L.L.Schumaker、Ming-Jun Lai与崔景泰等人对多元样条理论也进行了深入的研究，取得了很多满意的结果。

在我国，从60年代末开始，从船体数学放样到飞机外形设计，逐渐出现了一个使用样条函数的热潮，并推广到数据处理的许多问题中。到了70年代末与80年代初，样条函数理论的研究达到了一个顶峰。样条函数在逼近理论中成为了重要的工具。样条函数理论与变分极值问题、非参数统计学、计算几何等科学联系越来越紧密。不仅如此，在应用的过程中，样条函数理论也得到完善和发展。

研究目的及意义：

样条函数各相邻(片)上的多项式之间具有某种连接性质，因此它保持了多项式与有理式的简单性和逼近的可行性，又在各个单元之间保持了相对独立的局部性质。样条函数不仅在其应用上具有良好的数值稳定性和收敛性，而且还有递归性、凸性、局部支撑性等其他性质。

20世纪以来，航空、造船、机械设计和制造等行业应用计算机辅助设计的需要越来越大，那么如何确定几何外形数学模型与解决数据平滑问题则成了辅助设计的关键。由此便促进了样条函数的蓬勃发展。

随着电子计算机计数的飞速发展，样条函数得到了迅速的发展和广泛的应用。例如，样条函数在地质探矿和海洋调查中的趋势分析、气象动力预报的客观分析、航测地形图的绘制、光学仪器的自动设计、火箭技术中的最优弹道选择中都有相应的应用。不仅如此，样条函数与计算机辅助设计相结合，在曲线、曲面信息的表示、逼近、拟合、分析等方面取得了成功的应用；样条函数中的非均匀有理B-样条(NURBS)成为了几何外形设计和3D建模的一种常用的工具；一些通用的大型几何设计软件都是以样条函数为主要工具。另外，样条函数和有限元法有着密切的联系，它在函数插值、曲线拟合、数值微商、数值积分、常微分方程、偏微分方程以及积分方程的数值解中都有广泛的应用。

2. 研究的基本内容与方案

样条函数是计算数学中的一个重要分支，在短短几十年内便得到了迅速的发展。目前样条函数已经广泛应用于各类工程领域中。针对样条函数应用的广泛性，我们选取其中的一些应用进行细致的研究。主要内容包括以下几个部分：

(1)样条函数的定义和优缺点。

从实际问题的物理背景出发，利用微分方程定义任意样条函数，并把任意样条函数定义为相应微分方程的解。