自然界与社会生活中存在各种各样性质迥异的幂律分布现象。1932年,哈佛大学的语言学专家Zipf在研究英文单词出现的频率时,发现如果把单词出现的频率按由大到小的顺序排列,则每个单词出现的频率与它的名次的常数次幂存在简单的反比关系，这种分布就称为Zipf定律,它表明在英语单词中,只有极少数的词被经常使用,而绝大多数词很少被使用。实际上,包括汉语在内的许多国家的语言都有这种特点。19世纪的意大利经济学家Pareto研究了个人收入的统计分布,发现少数人的收入要远多于大多数人的收入,提出了著名的80/20法则,即20%的人口占据了80%的社会财富。个人收入X不小于某个特定值x的概率与x的常数次幂亦存在简单的反比关系，即为Pareto定律。

幂律分布广泛存在于物理学、地球与行星科学、计算机科学、生物学、生态学、人口统计学与社会科学、经济与金融学等众多领域中,且表现形式多种，在自然界与日常生活中,包括地震规模大小的分布 (古登堡里希特定律 、行星间碎片大小的分、月球表面上月坑直径的分、太阳耀斑强度的分布 、计算机文件大小的分布 、战争规模的分 、个人财富的分、人类语言中单词频率的分布 、大多数国家姓氏的分布 、科学家撰写的论文数的分布、论文被引用的次数的分布、网页被点击次数的分布 、书籍及唱片的销售册数或张数的分布、每类生物中物种数的分布、电影所获得的奥斯卡奖项数的分布等,都是典型的幂律分布。

统计物理学家习惯于把服从幂律分布的现象称为无标度现象,即,系统中个体的尺度相差悬殊,缺乏一个优选的规模。可以说,凡有生命的地方,有进化,有竞争的地方都会出现不同程度的无标度现象。

从统计物理学来看，网络是一个包含了大量个体及个体之间相互作用的系统。近年来在对复杂网络的研究过程中，科学家们亦发现了众多的幂律分布，虽然这些网络在结构及功能上是如此的千变万化，相差迥异。复杂网络中节点的度值k*相对于它的概率P（K）满足幂律关系，且幂指数多在大于2小于3的范围；这一现象是如此的普遍，如此的令人惊叹不已，以至于人们给具有这种性质的网络起了一个特别的名字—无标度网络。这里的无标度是指网络缺乏一个特征度值（或平均度值），即节点度值的波动范围相当大。无标度网络在自然界和现实生活中的实例举不胜举，像Internet、WWW这样的技术性网络、，电子邮件网络、电影演员合作网络、引文关系网络这样的社会性网络，甚至细胞代谢网络、蛋白质调控网络、食物链网络等之类的生物网。都是典型的无标度网络。

而幂律分布是重尾部的，重尾现象广泛地存在于自然、社会和经济领域,它的极端形态表现为极端事件,一旦发生会对整个保险业和金融业产生巨大的(甚至是毁灭性的)冲击,如飓风、火灾、大地震、重大车祸等。由于重尾现象的广泛存在性和巨大影响性,很多领域都对其进行了研究。从不同学科角度,包括水文学和环境科学、保险和金融领域、物理科学和生命科学等等。

重尾现象也在金融市场中普遍存在,并且尾部的极端事件往往是造成金融风险的主要原因,这些潜在的极端风险可能对金融机构造成巨大的损失。我们正处于一个金融极端事件频发的时期,金融资产收益大多呈现出“重尾”性,而传统方法中的正态分布假设严重低估VaR,十分不利于金融机构更加准确地度量风险,也不利于防范风险和做出合理的投资决策。

目前，国内外针对幂律分布的研究非常普遍如对中国城市规模幂律分布实证研、《幂律分布研究简史、Critical truths about power law、ower-Law Distributions in Empirical Dat。另外，针对幂律模型参数估计的研究也非常多，如修正的极大似然法拟合幂律频数分、Internet AS幂律建模及其参数估、幂律钻井液流变参数估计的改进算、复杂网络幂律函数标度指数的估计与检但目前很少有针对各个算法的分辨率的研究。所以本文进而对各种参数估计方法进行评价，得出能较好对幂律模型拟合的算法。以便于更加合理的分析对于特定的模型如何选取快速稳健的算法并准确对其进行拟合。

2. 研究的基本内容与方案

一、基本内容

1. 了解幂律模型及其广泛存在性

2. 了解信噪比