矩阵极端特征值的优化方法

随着社会进步、科学发展，在自然科学、社会科学研究以及工程实践中，对于某些问题，如层次分析法的应用、解数学物理方程、差分方程、Markov过程等问题都可以转化为求解特征值的问题。特征值的应用俨然成为研究方案、解决问题的基本方法。而在诸多的特征值中，有时我们会更加在意极端特征值，即最大特征值的求解。本文就“矩阵的极端特征值”进行讨论。对于极端特征值的求解存在着多种解决方法，如直接法、变换法、迭代法等。

直接法是一次性的快速解决问题，然而问题的多样性和复杂性，导致其适用范围不大，操作难度加大。

变换法是指对矩阵进行等价变换，简化矩阵使得更加容易求得特征值。这是最基础的一种方法，在大学的课本教材中有详细的叙述：通过相似变换将矩阵转化为特殊形式的矩阵，如：将对称矩阵对角化，将一般形式矩阵向Heisenberg矩阵转化，最后对两种特殊形式矩阵的求解特征值。此时求得的矩阵的特征值与原矩阵的特征值是相同的，但其特征向量与原矩阵的特征向量一般是不同的，因此需要对所做过的变换进行记忆。所以，变换法的算法和编程是较为复杂的，但其最大的优点是可以求得全部或部分特征值及其相应的特征向量。

通过一系列矩阵向量乘积求得特征值和特征向量的方法叫做迭代法， 迭代法通常分为定常迭代和非定常迭代两种。基于系数矩阵分裂的方法属于定常迭代，如Jacobi，Gauss-Seidel，Hermitian and Skew-Hermitian Splitting（HSS)，Successive Over-Relaxation（SOR)等方法及其改进和加速形式，由这些方法解决问题时可以得到的一些预条件子，运用某些预条件子来和Krylov子空间方法结合可以求解鞍点问题。共轭梯度法（CG)、极小残量法（MINRES)、广义极小残量法（GMRES)等属于非常定迭代。

上述方法在科学实践中都存在着一定的应用，但是因为存储量大、收敛速度慢、计算精度低、泛化能力弱等存在性问题，使其在应用中具有一定的局限性。

拟Newton法是一种新兴的求解非线性方程组的方法。需要对矩阵求导和求逆是Newton方法在应用中的缺点，拟Newton法克服了Newton方法的缺点，是一种更加有效简便的方法。拟Newton法在德国MTU（Motorenund Tubinen-Union）的MOPS（Modular Performance Synthesis）、荷兰国家航空航天试验室（NLR）的GSP（Gas Turbine Simulation Program）与TERLS（Turbine Engine Real-Time Simulation）美国航空航天局NASA的NCP（National Cycle Program）中都得到了广泛、有效的应用。当初始矩阵为该点雅可比矩阵时，无须在迭代过程中对雅可比矩阵进行重复多次计算，这便是拟Newton法的优点。本方法将求解高阶矩阵的最大特征值及其对应的特征向量问题转化为高阶非线性方程组的求解问题，本文将以此方法与变换法迭代法中常用的一些方法进行对比，从而说明该方法的有效性和优势。

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