摘 要

分形理论自二十世纪形成以来，在金融领域已经有广泛的应用。本文在前人研究的基础上，详细介绍了分形理论的基础、分形市场假说以及多重分形的定义，多重分形谱及相关参数的概念。本文建立多重分形消除趋势波动分析（MF-DFA）法，计算多重分形谱及其重要参数——奇异谱指数和多重分形谱值。本文选取沪深300指数、中证500指数和上证指数作为研究对象，利用多重分形谱，对股票市场的多重分形结构进行实证分析。首先根据股票价格的非线性性，确定其存在多重分形结构，接下来使用MF-DFA方法绘制沪深300指数的双对数函数关系图，绘制三个指数的多重分形谱、广义Hurst指数函数等，论证了股票市场的典型多重分形特征，为量化投资决策起到有效的帮助。

关键词：分形 多重分形谱 股票市场 实证分析

Fractal Theory and Applications in Financial Market

Abstract

Since the fractal theory was formed in the 20th century, it has been widely used in the financial field. Based on the previous studies, this passage introduces the basics of fractal theory, the fractal market hypothesis, the definition of multifractal and the concept of multifractal spectrum and related parameters. In this passage, we establish the multi-fractal elimination trend fluctuation analysis (MF-DFA) method and calculate the multifractal spectrum and its important parameters—the singular spectrum index and the multifractal spectrum value. This passage selects the CSI 300 Index , the China Securities 500 Index and SSE (Shanghai Stock Exchange) Composite Index as the research object, and uses the multifractal spectrum to empirically analyze the multifractal structure of the stock market. Firstly, according to the nonlinearity of stock price, the multi-fractal structure of the stock market is determined. Next, we use the MF-DFA method to draw the double logarithmic function of the CSI 300 index. We draw the multifractal spectrum of three indices, the generalized Hurst exponent function, and so on, and demonstrate the typical multifractal characteristics of the stock market, which can effectively help to quantify investment decisions.

Key Words: Fractal; Multifractal spectrum; Stock market; Empirical analysis

目录

摘 要 I

Abstract II

第一章 绪论 1

1.1 研究的背景和意义 1

1.2 文献综述 2

第二章 分形理论 5

2.1 分形的定义 5

2.2 分形的性质 6

2.3 分形维数 6

2.3分形市场理论 7

2.3.1 分形市场的定义 7

2.3.2 分形市场的特征 8

2.4 多重分形理论 8

2.4.1 多重分形的产生 8

2.4.2 多重分形的定义 8

2.4.3 多重分形谱 9

第三章 MF_DFA多重分形模型的建立 11

3.1 模型的来源与建立 11

3.2 多重分形的重要参数 13

第四章 股市多重分形实证分析 15

4.1 样本选取 15

4.2 基于MF-DFA的多重分形实证结果及分析 17

4.2.1 双对数函数关系图 17

4.2.2 不同股指数的多重分形特征 18

第五章 总结与展望 22

5.1 研究结论 22

5.2 研究展望 22

参考文献 23

第一章 绪论

1.1 研究的背景和意义

随着我国金融市场的发展，越来越多的投资者开始关注金融市场的运作规律、金融操作的重要性以及风险防范问题。由此，分形理论、混沌理论等非线性动力学开始广泛应用于金融市场的问题研究。其中，分形理论已广泛应用于金融领域、自然科学领域等各个领域。分形学为金融市场的成熟应用，为金融市场的研究扩宽了研究方向，成为了研究市场价格波动的有利工具之一。

分形学起源于二十世纪下半叶，是非线性研究的重要分支之一。它的研究对象为自然界与生活中一些复杂无序，同时又有一定规律的图形与现象。分形学打破了欧几里得几何学的整数维传统，它为具有自相似性的物体、不规则的现象的研究，提供了全新的思路与方法。分形理论的出现，使得人们对非线性理论的认识更加深入，人们对世界的认知不再局限于整数和线性。借助分形理论，人们能够更好地刻画具有时变性的时间序列的局部特征，准确地描述系统的复杂统计特性，对刻画金融市场的复杂波动情况有着重要的意义。

目前，分形的特点是在不同标度下有着相似的结构，在金融市场的体现为以不同的时间尺度（如年，月，日等）对金融市场进行精细的描述。分形学以其强大的数学理论，解释了金融市场中一些难以解释的异象，尤其是在金融市场价格预测和风险分析上，因此，分形学在金融市场中的使用越来越普遍。对于股票价格的时间序列来说，其有着统计方面的自相似性、相关性、服从分形分布等，加上分形理论的运用，可以构建一个分析与预测股票价格波动情况的模型，这成为金融经济学研究的热点问题。分形理论在金融市场上的应用，有着十分重要的存在价值。随着一些金融现象的出现，单一分形无法对这些复杂现象进行合理的解释，也不能很好地描述金融市场的长期变化。因此，为了更系统地、准确地、精细地描述金融市场的变化情况，我们在单一分析的基础上，引入了多重分形理论。事实证明，金融市场中的时间序列往往都表现为多重分形结构。

多重分形在金融市场的应用有很多，它可以比单一分形更好地解释金融市场的非有效现象。多重分形可以用于描述金融时间序列中不同层次的奇异测度，还可以利用其统计意义上的相似性，直接证明金融市场的无效性。同时，将多重分形理论与金融领域研究结合在一起，投资者们可以利用多重分形理论中的多重分形谱，结合大量的市场数据，直观地分析股指数变化趋势，快速地预测短期内股市走势，帮助投资者快速把握市场信息，避免错失投资良机。