1. 研究目的与意义及国内外研究现状

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于jensen[1905]著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文主要是研究几类凸函数的定义、性质以及凸函数性质在不等式证明、极值求解中的作用。同时也对凸函数的几个著名不等式进行研究，得到一些有意义的结论。

凸函数在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是它的局限性也很明显。如何推广函数的凸性概念，使得在更广泛的函数范围内，凸函数的许多重要性质仍然得以保留，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。函数的凸性是函数的一个重要性质，具有很好的几何性质，因此具有重要的理论研究价值和广泛的应用价值，比如利用凸函数的性质证明不等式、产品的外形设计，优化产品设计等。因此，正确理解函数的凸性性质和应用，加深对函数性质的研究，提高数学知识的应用能力，推广数学的应用领域和范围。让数学来源于生活，应用于生活。

国内外研究现状

在任何一种高等数学教材中都介绍凸函数，它在最优化理论、数理经济学等领域都有着广泛的应用，先给出凸集的定义，借助凸集来引入凸函数的几何直观性定义，并借此给出凸函数的解析式定义，进行一系列的分析、类比、归纳，接着用实例说明用凸函数解决实际问题的重要意义。

2. 研究的基本内容

本文将给出凸函数的定义及等价定义, 并证明它们之间的等价关系，提出凸函数的判定定理, 对一个函数是否是凸函数提供判断依据。

重点介绍凸函数的几个著名不等式詹森（Jensen）不等式闵可夫斯基（Minkowski）不等式以及这几个不等式的应用, 主要是凸函数凹函数的性质和推广在不等式积分方面的应用并举例说明凸函数的基本性质和积分性质在不等式证明过程中的重要作用。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

收集与凸函数有关的资料并且整理筛选出自己所需要的文献。

第二阶段：（2016年4月2号—2016年4月9号）

根据自己对论文的要求，对自己的找出来的文献再进行精确的筛选，最终得到自己所需要的精确的数据及文本。

4. 参考文献

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析上册第三版[m]．北京：高等教育出版社，2001.

[2] 舒阳春.高等数学中的若干问题解析[m].北京：科学出版社，2005.

[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法第二版 [m]．北京：高等教育出版社，2006.