1. 研究目的与意义及国内外研究现状

复金兹堡-朗道（ginzburg-landau）方程为1950年由ginzburg和landau基于朗道二级相变共同构造的一个描述超导理论的简化数学模型(文[1])。它在众多领域中描述了非线性系统的广泛应用，如非平衡流体动力学和化学系统，非线性光学和量子力学。它还可以描述物质超导、超流性，对流问题，激光非线性波和物理相变过程以及玻色-爱因斯坦凝聚现象等，因此越来越多的国内外数理理论学者对复金兹堡-朗道方程展开了深入研究。

虽然已有大量研究分析了复金兹堡-朗道方程的精确解及其稳定性，但极少数情况可以获得该方程的解析解。一旦当解析解不存在时，比如五次以及更高次的代数方程，则就需要利用数值方法来求解近似值。数值研究对方程的所有特征都可以有个较完全透彻的概括。关于二维复金兹堡-朗道方程的数值算法虽已有很多结果，但普遍精度不高。文献[29]在高精度交替方向隐式法下提出二维复金兹堡-朗道方程的一种预测-校正格式，这种算法虽然避免了解决非线性项并提高了精度，但是迭代依然会增加方程的计算量，影响方程的计算效率。鉴于以上原因，本论文将考虑在交替方向隐式法的基础上对二维复金兹堡-朗道方程提出一个更优化的数值研究结果。与已有算法相比，其不但具有更高阶的精度（空间为四阶精度，时间具有二阶精度）而且计算更为快速。另外，我们还将给出一些数值算例，对算法的精度和误差进行分析验证。

由于本课题所解决的方程是物理学中广泛研究的热点问题，能否构造一个更优化的高精度快速算法对二维复金兹堡-朗道方程进行求解就显得尤为重要。因此文章发表后必将导致大量文献引用我们的结果。

2. 研究的基本内容

该论文致力于研究二维复金兹堡-朗道方程的数值研究，拟构造一个基于时间分裂的四阶紧致交替方向隐式差分算法。通过阅读大量文献资料，利用时间分裂法将方程分步成三个子问题进行求解，其中最关键的一步就是通过引入追赶法对一个线性紧致差分方程进行数值计算，最后将方程的解以紧致交替方向隐式差分格式详细表达出来。同时希望能通过几个数值算例来验证算法的精度及计算效率并分析方程的范数误差。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

1、实行方案：

运用基于时间分裂的四阶紧致交替方向隐式差分格式对二维复金兹堡-朗道方程构造一种高精度的快速计算方法，在计算过程中通过引入追赶法对差分方程的一个线性子问题进行数值求解，并对方程的某些动力学行为进行了数值模拟。

2、进度：

4. 参考文献

[1]ginzburg v l，landau l d．on theory of superconductivity[j]．zh eksp theor fiz，1950，20：1064．

[2]郭柏灵，黄海洋等．金兹堡-朗道方程[m]．北京：科学出版社，2012．

[3]xuanchun dong．a fourth-order split-step pseudospectral scheme for the kuramoto-tsuzuki equation[j]．commun nonlinear sci numer simulat，2012，17：3161-3168．