论文总字数：23023字

摘 要

非中心卡方分布随机变量是一些独立同分布非零均值高斯随机变量的平方和。由于非中心卡方分布密度函数表达式过于复杂，在进行信号检测性能分析时不能得到很好的解析结果。因此，研究其近似分布方法就显得尤为重要。

本文对非中心卡方分布的两种近似方法进行了分析。根据中心极限定理，可以采用高斯分布去近似非中心卡方分布，但会导致较大的近似误差。利用伽马分布近似时根据非中心卡方分布的均值和方差可以得到其参数，近似结果远优于高斯近似。最后本文利用这两种近似的方法对于能量检测器进行了性能分析。

关键词：中心卡方分布 非中心卡方分布 高斯分布 伽马分布 能量检测器

The discuss of the approximate method of noncentral chi square distribution

ABSTRACT

The noncentral chi square distribution is the distribution of random variables which are composed of the sum of squares of Gaussian random variables with the same variance and the mean value is not zero. Because the expression of density function of noncentral chi square distribution is too complex, it can't get a good analytical result in the performance analysis of signal detection.

In this paper, the Gauss approximation and gamma approximation of noncentral chi square distribution are analyzed. If we use Gaussian distribution to approximate the noncentral chi square distribution, it will lead to a large error in approximate application. If we use the gamma distribution to approximate the non central chi square distribution, the approximate results are generally more accurate, but the process will be more complex. Then, the performance of the energy detector is analyzed by two distribution approximation methods.

Keywords: Central chi square distribution;Noncentral chi square distribution;Gaussian distribution;Gamma distribution;Energy detector

目 录

摘 要 I

ABSTRACT II

目 录 III

第一章 引言 1

1.1 高斯分布，指数分布，伽马分布及其关系 1

1.2 中心卡方分布 1

1.3 非中心卡方分布的近似分布 2

1.4 本文内容安排 2

第二章 几种分布研究 3

2.1 正态分布（高斯分布） 3

2.2 指数分布 5

2.3 伽马分布 6

2.4 高斯分布与指数分布的关系 8

2.5 指数分布与伽马分布的关系 9

2.6 本章小结 10

第三章 非中心卡方分布的近似 11

3.1 中心卡方分布 11

3.2 非中心卡方分布 12

3.3 非中心卡方分布的近似 14

3.3.1 用高斯分布近似非中心卡方分布………………...............................14

3.3.2 用伽马分布近似非中心卡方分布…………………………………...15

3.4 本章小结 16

第四章 基于分布近似方法的能量检测器性能分析 17

4.1 能量检测 17

4.2 准确结果 18

4.3 高斯近似 19

4.4 伽马近似 20

4.5 本章小结 22

第五章 总结 23

参考文献 24

致谢 25

第一章 引言

非中心卡方分布的随机变量是一些独立的方差相同且非零均值的高斯随机变量的平方和。由于非中心卡方分布的密度函数过于复杂，所以在应用中一般采用其近似分布。我们对于高斯分布进行了研究，发现如果用其近似会导致误差较大，因此我们需求一种更好的近似分布来解决实际应用中的问题。

1.1高斯分布，指数分布，伽马分布及其关系

高斯分布，又可以叫做正态分布，这是法国数学家棣莫弗经过研究二项分布渐进公式而得到的。拉普拉斯把它和中心极限定理关联起来，他们的研究到现在仍然在数学，统计学，物理学还有许多的工程领域有极大的影响。指数分布是用来描述寿命的一种分布，比如：电子元器件的使用寿命、电子仪器的使用寿命、机器维修时间、生物的寿命、电话通话时间等都近似服从指数分布。伽马分布在统计学中的医用上十分普遍，它是由伽马函数得到的。我们能根据中心极限定理得到，如果两个相互独立的随机变量的和遵从正态分布规律，那么这两个随机变量的平方之和所成为的新的随机变量就遵从指数分布规律。除此之外我们还能得到如果多个随机变量遵从指数分布的规律，那么这些随机变量的和所成为的新的随机变量就遵从伽马分布规律。

1.2中心卡方分布

卡方分布的随机变量是多个全都遵从标准正态分布并且相互独立的随机变量的平方的和。它在数理统计中具有重要意义，是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来统计学家海尔墨特(Hermert)推出于1875年，现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K.Pearson)推出于1900年。非中心卡方分布是一些由分别独立的具有相同的方差的并且均值不全是零的高斯随机变量的平方和构成的随机变量的分布。在日常生活和科学研究中经常需要以卡方分布为工具对观测到的数据资料和所研究的对象进行估计检验，判别分析或定性。比如物理学研究中就有关于某种铀放射的到达计数器上的阿尔法粒子数量的实验就会用到卡方分布进行拟合检验。还有另外一些很复杂的问题需用非中心卡方分布解决，就比如本文即将提到的能量检测器的性能分析。

1.3非中心卡方分布的近似分布

非中心卡方分布是一些由分别独立的具有相同的方差的并且均值不是零的高斯随机变量的平方和构成的新的随机变量的分布。由于非中心卡方分布的密度函数过于复杂，因此实际应用中多使用其近似分布，对于非中心卡方分布的更优近似分布的研究也就十分必要了。我们大多数情况下可以使用高斯分布和伽马分布作为非中心卡方分布的近似分布。如果我们使用高斯分布来近似非中心卡方分布那在操作方面将会是十分简便的，可是这同样会造成近似结果的偏差较大。如果我们使用伽马分布来近似非中心卡方分布，我们能够得到比高斯近似更加准确的结果，但是在具体实施过程也会更为复杂。

1.4 本文内容安排

第一章引言介绍了本文的研究内容。第二章介绍了高斯分布，指数分布，伽马分布的基本理论知识，对于三种分布之间的关系进行了一些分析和研究。第三章内容首先介绍了卡方分布和非中心卡方分布，然后对于非中心卡方分布的两种近似方法进行了分析比较。第四章内容基于两种非中心卡方分布分布近似方法对检测器性能进行了分析。第五章总结了本文。

第二章 几种分布研究

正态分布（高斯分布）是应用很普遍的一种概率分布，在许多自然现象和社会现象中大量出现的随机变量大都近似地服从正态分布。指数分布是用来表述寿命的一种分布，比如：电子元器件的使用寿命、电子仪器的使用寿命、机器维修时间、生物的寿命、电话通话时间等大都近似地遵从指数分布规律。伽马分布是可由伽马函数得到，它是一种非常重要的分布。

2.1正态分布（高斯分布）

正态分布是名叫棣莫弗法国著名的数学家，在研究二项分布的渐进公式的时候发现的。它是一种概率分布，有均值和方差两个参数，随机变量服从参数为、 的概率分布可以写作。它的概率密度函数是

那么它就被叫做正态随机变量，它服从的分布就被叫做正态分布，记做。

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